Hallo, Ik moet voor een onderzoeksopdracht een bewijs formuleren dat de ingeschreven cirkel van een pythagorasdriehoek een geheel getal is. Ik vind hier niets van op internet enkel dit
Het probleem: bepaal alle Pythagoras driehoeken waarvan de straal van de ingeschreven cirkel een positief natuurlijk getal n is
Oplossing. Een bekend resultaat: Alle Pythagoras driehoeken met zijden a, b en c en a2 + b2 = c2 kunnen worden geparametriseerd met positieve natuurlijke getallen u en v (u v), zodat a = u2 - v2, b = 2uv en c = u2 + v2.
Een ander bekend resultaat met betrekking tot de ingeschreven cirkel van een driehoek met oppervlakte A: rin =2A a + b + c Oftewel rin = 2uv(u2 - v2) 2u2 + 2uv = v(u - v) Bij elke deler v van het positieve natuurlijke getal n vinden we een u, zo dat n = v(u - v) en dus u = n v + v. Als we stellen q = n v , dan vinden we na enig vereenvoudigen de Pythagoras driehoek met zijden a, b en c (a, b, c) = (2n + q2, 2n + 2v2, 2n + q2 + 2v2)
maar dit is dus eigenlijk niet wat ik zoek zouden jullie mij kunnen helpen? Alvast bedankt
evelyn
3de graad ASO - maandag 2 mei 2011
Antwoord
Dag Evelien, Je bent eigenlijk al bij wat je zoekt, want je zegt: r=v(u-v) en omdat u en v gehele getallen zijn is r ook een geheel getal. Groeten, Lieke.