\require{AMSmath}

Raaklijn aan ellips

Beste mensen van wisfaq, ik heb het volgende probleem:
de raaklijn in het punt (q,z) van de ellips x²/a² +y²/b² = 1

heeft als vergelijking xq/a² + yz/b² = 1

bewijs dit!

- ik ga ervan uit dat ze bedoelen dat (q,z) op de ellips ligt. immer in het punt VAN de ellips.

- een willekeurige lijn door dit punt met m als rico.
y= m(x-q) + z
- omdat het de raaklijn is mag hij maar 1 snijpunt hebben. namelijk ( q,z) er geld dus blijkbaar q²/a² + z²/b²=1

verder komt ik eigenlijk niet.

daarnaast nog dezelfde vraag, maar dan als P buiten de cirkel ligt.

please hellup!

john
Student hbo - vrijdag 26 maart 2010

Antwoord

Probeer het eens te doen m.b.v. differentiaalrekening. Dat is toch niet voor niks uitgevonden, lijkt mij.
Schrijf de ellipsvergelijking als y = ±(b/a)Ö(a² - x²) en bepaal hiervan de afgeleide.
Je vindt: dy/dx = ±(b/a).(-2x)/(2Ö(a² - x²)) = -(b²x)/(a²y).
In het punt (q,z) is de rc van de raaklijn dus -(b²q)/(a²z) en daarmee heb je de raaklijnvergelijking te pakken. Je krijgt:
y - z = -(b²q)/(a²z) (x - q).
Maak hier van a²zy - a²z² = -b²qx + b²q² en maak daarvan weer
(qx)/a² + (zy)/b² = q²/a² + z²/b² = 1 (want (q,z) ligt op de ellips). Klaar!
Overigens moet je dit soort formules plus hun afleidingen toch in elk leerboek over analytische meetkunde kunnen vinden, denk ik.

MBL
vrijdag 26 maart 2010

Re: Raaklijn aan ellips

©2001-2024 WisFaq