beste mensen van wisfaq. ik heb de volgende vraag waar ik niet uit kom.
de cirkel x2 + Y2 = r2 snijdt de positieve y-as in A P een willekeurig punt van de raaklijn aan de cirkel in A. uit P trekt men de tweede raaklijn die de cirkel raakt in B a) bepaal de verzameling die de middelpunten van de omgeschreven cirkels van de driehoeken ABP vormen als P de raaklijn in A doorloopt.
ik kwam tot het volgende: - Raakijn uit A moet zijn Y=R(straal) op deze lijn ligt ook p. middelpunt cirkel is immers o,0. A ligt dus op (0,r)
- de poollijn uit p = xp . x + yp .y = r2 omdat yp = r geldt. poollijn uit p = xp . x + r.y = r2 ( maar hier heb je denk ik niets aan)
- p ligt o de raaklijn uit B. dus p(x,r) ligt op: xb.x + yb.y = r2 dus geldt xb.xp +yb.r= r2
maar wat en hoe verder. bovenstaande gegevens kan ik afleiden, maar weet verder niet of ik er iets mee kan of hoe. aub uw hulp.
mvg john
john
Student hbo - vrijdag 19 maart 2010
Antwoord
Het snijpunt van de cirkel met de positieve y-as is A(0,r). De raaklijn in A aan de cirkel heeft vergelijking y = r. Een willekeurig punt hierop is P(p,r), waarbij p variabel is. De poollijn van P t.o.v. de cirkel heeft de vergelijking px + ry = r2 en de rc. van deze lijn is dus -p/r De middelloodlijn van deze poollijn heeft dan rc = r/p en dus is de vergelijking y = (r/p).x Merk op dat deze middelloodlijn uiteraard door P en door O gaat. De middelloodlijn van AP is de verticale lijn met vergelijking x = 1/2p. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABP (B is het andere snijpunt van poollijn en cirkel) voldoet dus aan twee eisen: x = 1/2p en y = (r/p)x. Je moet nu 'loskomen' van de variabele p. Omdat p = 2x volgens de eerste vergelijking is op grond van de tweede vergelijking y = r/(2x).x = 1/2r Het middelpunt van de omgeschreven cirkel ligt dus steeds op een hoogte die gelijk is aan de helft van de straal van de cirkel.