Ik heb volgende integraal: $\int{}$+$\infty$0 dx / √x (x2+1)
Sing punten in het bovenhalfvlak zijn: x=i (pool orde1) en x=0 (pool orde 1/2). Ik kan de integraal herschrijven: $\int{}$+f(z)dz = 2$\pi$i Res(f,i)=$\int{}$-$\epsilon$-R... + $\int{}$$\gamma$$\epsilon$... + $\int{}$R$\epsilon$...+ $\int{}$$\gamma$R
De tweede en vierde integraal (van rechterlid) gaan 0 (is te bewijzen via een afschatting, heb ik gedaan WAS oke.
Als ik nu mijn gevraagde integraal wil gaan berekenen dan heb ik:
Mijn probleem nu is: Hoe krijg ik nu de gevraagde integraal $\int{}$+$\infty$0 dx / √x (x2+1)
dank alvast
AA
Student universiteit België - maandag 30 november 2009
Antwoord
Dat probleem lost zich vanzelf op als je je realiseert welke tak van de wortel je gebruikt hebt: aan de integraal te zien heb je de negatieve Imaginaire as als snede gebruikt en wil je ook dat voor x$>$0 je de gebruikelijke wortel hebt. Uit die gegevens kun je afleiden wat √(i) is en ook wat √(x) is voor x$<$0 (dat heb je voor de linker integraal nodig. Oh ja, x=0 is geen 'pool van orde 1/2' het is een vertakkingspunt van de wortel.