Ik zoek de eigenstructuur van een matrix, en hiervoor heb ik de wortels van de volgende vergelijking nodig:
-1x3+4x2+4x-16=0
Dit komt overeen met:
x3-4x2-4x+16=0
a=-4 b=-4 c=16
Dit is te herleiden tot
z3+pz+q=0
waarbij p= - a2/3 +b= -28/3 en q= 2/27 a3- ab/3 +c = 160/27
De discriminant D= (1/2q)2+(1/3p)3 is dan kleiner dan 0, dus heeft deze derdegraadsvergelijking drie reeėle wortels.
Vanuit de oplossing van de oefening die ik probeer te maken, kan ik afleiden dat deze drie wortels 4, 2 en -2 zijn. Ik weet echter niet hoe ik deze wortels moet berekenen.
Ik wilde de vergelijking op de goniometrische manier oplossen, met hulphoek y
cos y= ± (q/2)/√((p/3)3)
dan zou z1=-2√(p/3) cos y/2 z2= -2√(p/3) cos (120° +y/3) en z3= -2√(p/3) cos (120° - y/3).
Ik zou x dan kunnen bepalen, aangezien x=z-(a/3).
Omdat p een negatief getal is, weet ik niet hoe ik deze berekeningen moet uitvoeren.
Hoe kan ik de wortels van vergelijking
-1x3+4x2+4x-16=0
berekenen?
Laura
Student universiteit Belgiė - donderdag 10 september 2009
Antwoord
In dit geval helpen de formules van Cardano niet echt; wat je snel in kunt zien is dat elke gehele oplossing een deler van 16 moet zijn: als x een oplossing is dan geldt x(x2-4x-4)=-16. Het ligt dan voor de hand eerst even ±1, ±2, ±4, ±8 en ±16 te proberen.