Ik zit met een vraag die van doen heeft met de wet van grote aantallen: de vraag luidt als volgt.
Gegegeven is een rij onafhankelijke stochasten X1, X2.... met een exponentiele verdeling met parameter lambda = 3. Voor elke n=1,2,.... berekend men
X12+X22+....+Xn2/n
En dan is de vraag: Volgens de wet van grote aantallen, zal dit voor een n groot ongeveer gelijk zijn aan: ? (antw: 2/9 )
ik snap hoe het antwoord ontstaat, maar deze tussenstap niet.
X12+X22+....+Xn2/n E[X12]
Hoe bewijs je bovenstaande uitdrukking met de regels van wet van grote aantallen, verwachting, en het gemiddelde (X overstreept)
Onno
Student universiteit - donderdag 4 juni 2009
Antwoord
Onno, Zij U(n)=(X12+X22+...+Xn2)/n .Verder zijn Xi2,i=1,2,...onafhankelijk met alle dezelfde kansverdeling waarvan het eerste moment bestaat.Dan zegt de zwakke wet van de grote aantallen dat de rij U(n) in waarschijnlijkheid naar de constante E(X12) convergeert.Wat betekent dit:Kies een vast positief getal e.Voor grote n worden nu afwijkingen die tenminste de grootte ehebben, zeer onwaarschijnlijk.Preciezer: de kans dat de afwijking |U(n)-E(X1)| een waarde aanneemt ,die tenminste e is,nadert naar nul voor n naar oneindig.Dit geldt voor iedere e0, hoe klein ook gekozen. De bewering dat U(n)E(X1) is dus niet correct,want dat is convergentie van een getallenrij.
E[X12] 
0, hoe klein ook gekozen. 