\require{AMSmath}

Richtingscoëfficient

In een opgave in mijn examenbundel moet ik bewijzen dat de grafiek f(x)=Ö(ln x) bij het startpunt S(1,0) loodrecht staat op de x-as.

Vervolgens gaan ze bij het antwoord de afgeleide bepalen, f1(x)=1/x · 1/2Ö(ln x), en vullen ze f1(1) in. Dan zeggen ze f1(1) bestaat niet dus loopt de grafiek van f verticaal.

Waarom loopt de grafiek van f verticaal als f1(1) niet bestaat?

Bas
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 28 mei 2008

Antwoord

Twee argumenten kun je verzinnen.

1. f'(1) bestaat weliswaar niet, maar je kunt wèl de limiet nemen voor "x nadert van boven naar 1". En dan nadert f' tot oneindig en dus loopt de grafiek verticaal.

lim x¯1 f'(x) = ¥

vraag: zou je ook de limiet voor x1 mogen nemen?

2. f'(x) is hetzelfde als dy/dx
dy/dx is (het quotiënt van) de verandering in de y-richting bij een verandering in de x-richting.
De grafiek y(x) is een curve waarbij y een functie is van x.
Als we nou het hele assenstelsel inclusief grafiek een kwartslag zouden draaien, dan lijkt het net alsof we tegen een curve x als functie van y aankijken.
dx/dy is dan de richtingscoëfficiënt van deze curve.

omdat dy/dx = 1/(2xÖln(x)) is dx/dy = 2xÖln(x)
vullen we x=1 in dan is dx/dy=0:
conclusie: in het stelsel dat we een kwartslag gedraaid hebben, loopt de grafiek horizontaal in x=1.
Dus in het oorspronkelijke stelsel moet de curve verticaal lopen in x=1.

groeten,
martijn

mg
woensdag 28 mei 2008

©2001-2024 WisFaq