Hallo ik heb een opgave waar ik niet zo uitkom. Het gaat om de functie f(x,y)=x2+y2 met domein [-1,+1]x[-1,+1]. Nu luidt de vraag: is (-1,0) een (rand)maximum, een (rand)minimum of geen van beiden. Ik zou graag willen weten hoe je zo'n som aanpakt.
Sander
Student hbo - woensdag 13 november 2002
Antwoord
Hoi,
Ik weet niet of er een algemene manier is om dit soort van problemen aan te pakken, maar ik zou als volgt te werk gaan.
Probeer je eerst iets grafisch voor te stellen. Je kan bijvoorbeeld kijken hoe de snijding met een horizontaal vlak z=a eruit ziet en dan zogenaamde niveaulijnen tekenen. Concreet is f(x,y)=x2+y2=a een cirkel met straal a. We zien onmiddellijk dat f(x,y) identiek is voor alle punten op een cirkel met die straal en dat f(x,y) groter wordt naarmate de straal groter wordt. Dit is heel interessant.
Het is ook interessant om naar symmetrieën te zoeken. Hier is f(x,y)=f(-x,y)=f(x,-y)=f(-x,-y). Maar dat wisten we al omdat de horizontale sneden cirkel zijn.
Je kan ook snijden met een vertikaal vlak, bv y=b. Concreet: f(x,b)=x2+b2, een parabool.
De horizontale sneden zijn cirkels, dit doet vermoeden dat het om een omwentelingslichaam gaat. Voor b=0 gaat het snijvlak dan door de kandidaat omwentelingsas (x=y=0). We krijgen dan de parabool z=x2. f(x,y) is dus een paraboloïde die naar boven openstaat en met absoluut minimum 0 in (0,0).
De domeinbeperking [-1,1]x[-1,1] betekent eigenlijk dat je f(x,y) snijdt met de vlakken x=1, x=-1, y=1, y=-1. Op die manier krijgen we 4 congruente parabolische snijkrommen. Het punt (-1,0) ligt in het vlak x=-1. De vergelijking van die snijkromme is: x=-1 en f(x,y)=y2+1. Deze parabool heeft een minimum voor y=0 en een randmaximum voor y=+/-1. (-1,0) is dus een randminimum in dit vlak en omdat alle parabolen gewoon draaiingen zijn van elkaar rond x=y=0, is (-1,0) een randminimum voor heel de rand van f(x,y) beperkt tot het gegeven domein.
Samengevat: - stel het je grafisch voor (zeker niveaulijnen om min/max te bestuderen) - zoek naar symmetrieën - herleid naar eenvoudiger (2D) problemen
a. We zien onmiddellijk dat f(x,y) identiek is voor alle punten op een cirkel met die straal en dat f(x,y) groter wordt naarmate de straal groter wordt. Dit is heel interessant.