\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 53050

Re: Convergentie van u(n)=e^1-(u(n-1))²

Zover was ik ook al...
Ik zocht eigenlijk naar de verklaring van die twee gevonden waarden. Zijn die middels een of andere slimmigheid te achterhalen?

Nadine
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 15 november 2007

Antwoord

Die waarden zijn toch ongeveer e (maar niet helemaal) en ongeveer e^1-e2 (maar niet helemaal)?
Maar als je ze precies (exact) zou willen weten, zou je bijvoorbeeld de functie g(x)=f(f(x)) kunnen definieren.
Je krijgt dan g(x)=e^(1-e^(2-2x^2))
De limiet van de kleinere waarde van de 2-staps periode is dan een dekpunt van g(x). Je zou dan moeten oplossen g(x)=x.
Dat is zo als x=1, maar aan die oplossing heb je niks.
Helaas is de vergelijking x=e^(1-e^(2-2x^2)) verder niet exact oplosbaar.
(net zo min als bijvoorbeeld de vergelijking x=cos(x))
De door jou gevonden waarde 0,001679911118 is een redelijke numerieke benadering van deze oplossing. (De waarde .001679911117 zou beter zijn).
De grotere waarde van de tweestaps periode is dan gelijk aan
f(.001679911117)

Om even te laten zien hoe snel de convergentie van g gaat heb ik even het volgende kleine programmaatje geschreven:

x:=0.1
for(i;1;7;1)
x:=exp(1-x^2)
x:=exp(1-x^2)
uitvoer(x)
next

Met als resultaat:

0.00194451442670242309
0.00167993492559067894
0.00167991111864384564
0.0016799111166580896
0.00167991111665792397
0.00167991111665792395
0.00167991111665792395

Helaas er zijn vergelijkingen die niet exact oplosbaar zijn.
Itereren is dan een mooie manier om aan een heel nauwkeurige benadering te komen.

hk
donderdag 15 november 2007

©2001-2024 WisFaq