goeiendag, ik heb continuitiet geleerd van delta en epsilon functie, maar ik snap het eigenlijk niet. vb. je hebt de functie f(x)=x3 en je moet dat doen m.b.v. de basisomgeving en we hebben de eigenlijke defintitie gezien die luidt als volgt: Voor alle y element van Basisomgeving van f(a) bestaat er een x element van Basisomgeving f(x)zit in verzameling y..Ik versta dit niet zo goed. Alvast Bedankt
zagie
3de graad ASO - vrijdag 9 november 2007
Antwoord
Even kijken.
Je wilt (neem ik aan) bewijzen dat de functie f(x) = x3 continu is?
Een functie f is continu in x=a wanneer er voor elke omgeving V van f(a) een omgeving U van a is zdd f(U) Ì V. Anders gezegd, voor elke e is eeen d zdd voor elke x met |x-a| d geldt |f(x)-f(a)| e
Een functie f is continu als hij continu is voor elke a.
Twee voorbeeldjes: De functie f(x) = 1 is vanzelfsprekend continu. Immers iedere omgeving van elk getal wordt afgebeeld op de verzameling {1}. En die is weer een deelverzameling van elke omgeving van 1. De (stap)functie f met f(x) = 0 voor x0 en f(x)=1 voor x0 is niet continu (in x = 0). Immers, f(0)=1, maar iedere omgeving van 0 wordt nu afgebeeld op de verzameling {0,1}. En dat is niet altijd een deelverzameling van een omgeving van 1. Om precies te zijn: voor e=1 kun je geen d vinden. Want, welke d je ook neemt er is altijd een x met |x-0|d zdd f(x)=0. Die x heeft |f(x)-f(0)|=|0-1|=1 en dat is niet e.
Ik hoop dat dit de definitie een beetje verduidelijkt? Bij f(x) = x3 heb je dit probleem niet. Neem a¹0. Eerst bekijk je dit: |(a+u)3-a3|=|3a2u+3au2+u3| als nu |u| |a| geldt vervolgens: ... |7a2u| = |7a2||u| Heb je nu een e dan kies je d = min(|a|,e/|7a2|) Voor elke x met |x-a|d geldt: x = a+u met |u|d En dus: |f(x)-f(a)| = |(a+u)3-a3||7a2|de Dus is f(x) inderdaad continu voor x=a voor alle a¹0 De continuiteit in x=0 moet je apart bewijzen.