Hoeveel onvereenvoudigbare strikt positieve breuken zijn er met 180 als som van teller en noemer?
Tom
3de graad ASO - maandag 15 oktober 2007
Antwoord
Beste Tom,
Stel dat x = teller en y = noemer. Dan weten we dat x+y=180 met x,y $\in$$\mathbf{N}$ verschillend van 0 dus x = 180-y.
We kunnen onze breuk dan als volgt noteren: (180-y)/y. Opdat de breuk nu onvereenvoudigbaar zou zijn mag y geen deler zijn van (180-y). We ontbinden 180 in priemfactoren. We krijgen 180 = 22·32·5 dus y mag geen deler zijn van (22·32·5-y). Nu wordt het een beetje ingewikkelder. y mag dus geen 2,3 of 5 zijn dat spreekt voor zich want dan is de breuk vereenvoudigbaar en dat is in strijd met het gegeven. y mag ook geen veelvoud zijn van 2,3 of 5. Dat lijkt misschien onlogisch maar dat is het niet. Stel y=22 dan is y=2·11 dus (22·32·5-2·11)/(2·11) en wat blijkt ... de breuk is ook vereenvoudigbaar. We zoeken nu hoeveel getallen er deelbaar zijn door 2 van 0 t.e.m. 179 (want y$ \ne $0). We vinden dit aantal door 179 te delen door 2 dus 179/2= 89.5 Er zijn dus 89 getallen die deelbaar zijn door 2. We zoeken vervolgens hoeveel getallen er deelbaar zijn door 3 en 5. Respectievelijk 59 en 35. We hebben nu wel een aantal getallen dubbel geteld namelijk de getallen die zowel deelbaar zijn door 2 en 3 , 2 en 5 , 3 en 5 , 2 en 3 en 5. Dus moeten we kijken hoeveel getallen deelbaar zijn door 6, 10, 15 en 30. Dat zijn er respectievelijk 29, 17, 11 en 5. We maken nu de eindsom dus: 180-89-59-35+29+17+11+5=59 Er zijn dus 59 strikt positieve breuken die onvereenvoudigbaar zijn en waarvan de som van teller en noemer 180 is. Lang he voor zo'n korte opgave.
