hoe kan ik aantonen dat een bepaalde veelterm deelbaar is door een natuurlijk getal? Er is een stelling die zegt dat een getal m deelbaar is door een getal n wanneer men dit getal m kan schrijven als m=kˇn waarbij k een geheel getal moet zijn. Ik moet aantonen dat n3+(n+1)3+(n+2)3 deelbaar is door 9. Als ik dit uitwerk naar k dan kom ik 1/3n3+n2+5/3n+1 uit, wat voor elke n Î een natuurlijk getal oplevert(en dus ook een geheel). Maar in deze veelterm zitten breuken en niet elke breuk is een geheel getal, ook al kom ik voor elke n een natuurlijk getal uit. Ben ik verkeerd bezig of hoe kan ik aantonen dat deze veelterm altijd een geheel getal oplevert?
Frékes
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 4 oktober 2007
Antwoord
Beste Frékes, De stelling die u noemt is geen stelling maar een definitie. De "veelterm" n3+(n+1)3+(n+2)3 is voor een gegeven natuurlijk getal n een getal, waarvan we moeten aantonen dat het deelbaar is door 9, ongeacht de waarde van n. Uitwerken levert 3n3+9n2+15n+9, dus je moet inderdaad bewijzen dat n3/3+n2+5n/3+1 altijd een geheel getal is. Dit is waar dan en alleen dan als n3/3+5n/3 altijd een geheel getal is, dus dan en alleen dan als n3+5n altijd deelbaar is door 3. Welnu, n3+5n = n(n2+5). Er zijn drie mogelijkheden: 1) n is zelf een drievoud, dus n=3s voor zeker geheel getal s. Dan is n(n2+5) = 3s(n2+5) = 3t waarbij t=s(n2+5) een geheel getal is; 2) n is een drievoud + 1, dus n=3s+1 voor zeker geheel getal s. Dan is n(n2+5) = n(9s2+6s+6) = 3u waarbij u=n(3s2+2s+2) een geheel getal is; 3) n is een drievoud + 2, dus n=3s+2 voor zeker geheel getal s. Werk dit geval zelf maar verder uit naar analogie met het vorige geval. Vragen zijn altijd welkom. Succes.
een natuurlijk getal oplevert(en dus ook een geheel). Maar in deze veelterm zitten breuken en niet elke breuk is een geheel getal, ook al kom ik voor elke n een natuurlijk getal uit. Ben ik verkeerd bezig of hoe kan ik aantonen dat deze veelterm altijd een geheel getal oplevert?
