\require{AMSmath}

Massatraagheidsmoment

Wij hebben binnenkort examen en we moeten van de leerkracht het massatraagheidsmoment kunnen afleiden voor een bol en een kegel. dit is echter niet op het internet terug te vinden. zouden jullie mij kunnen helpen? Normaal zou je iets zoals het volgende op het einde moeten uitkomen:
bol: J=(m·2·r²)/5
kegel: J=(m·...·r²)/10

rambi
Overige TSO-BSO - donderdag 7 juni 2007

Antwoord

Wanneer een puntmassa een (cirkel)baan beschrijft t.o.v. een vast punt, dan is het impulsmoment L=m.v.r
En omdat v=$\omega$r, is L=m.r².$\omega$
Hierin is m.r² het massa-traagheidsmoment.

Wanneer we nu een roterend object hebben (dus geen puntmassa meer, maar een verzameling van veel puntmassa's) dan is het totale impulsmoment de som van de impulsmomenten van alle massa-elementjes waaruit dat object is opgebouwd.
Wanneer we een schijf zouden hebben met dikte p en straal r,
dan geldt voor elk klein massa-elementje dat dJ=r².dm
Wanneer deze schijf uniforme dichtheid $\rho$ heeft, is dus
dm=$\rho$.p.2$\pi$r.dr (een cirkel-ringetje)
het totale massa-traagheidsmoment J is dan dus
J = $\int{}$r².dm = $\int{}$r².$\rho$.p.2$\pi$r.dr = $\int{}$2$\pi\rho$.p.r³.dr
(geïntegreerd van 0 tot r)

Een bol nu, kunnen we opgebouwd denken als een STAPEL van oneindig dunne schijfjes (dikte nu niet p, maar dz genoemd) die van de top tot aan de onderkant van de bol van klein naar groot naar klein gaan.

Om hier het totale massatraagheidsmoment te berekenen moet je dus integreren over alle individuele schijfjes.
· de bol heeft straal R
· de hoogte van de bol varieert van z=-R tot z=+R
· Ieder schijfje op hoogte z heeft een straal √(R²-z²)

Zo kom je op een dubbele integraal:
· per schijfje integreer je van r=0 tot r=√(R²-z²)
· alle schijfjes integreer je van -R tot +R

J=_z=-R$\int{}$^z=+R_r=0$\int{}$^r=√(R2-z2)$\rho$.2$\pi$r.r².dr.dz
= 2$\pi\rho$_z=-R$\int{}$^z=+R[¹/₄R⁴]^√(R2-z2)₀dz
= 2$\pi\rho$._-R$\int{}$^+R1/₄(R²-z²)²dz
= ...
= 8/15 .$\pi\rho$R⁵

Hierin zit de totale massa vervat. Aangezien voor een bol geldt dat
M=$\frac{4}{3}\pi$R³, is J=(2/5).R².M

Kun je t zelf voor een kegel proberen?
(dit is het omwentelingslichaam van de lijn y=ax. Wederom plakjes stapelen)

groeten,
martijn

mg
vrijdag 8 juni 2007

©2001-2024 WisFaq