Ik moet de vergelijking 3z4 + (4-3i)z3 + 4(1-i)z2 + (1-4i)z + i = 0 oplossen.
Hoe moet ik hieraan beginnen?
Alvast bedankt,
Jeroen
Jeroen
3de graad ASO - zaterdag 26 mei 2007
Antwoord
Dag Jeroen,
Spannende vraag. Tweedegraads vergelijkingen los je (ook in ) op met de abs-vergelijking. Voor derdegraadsvergelijkingen kun je de formule van Cardano gebruiken, maar dat is niet eenvoudig. Voor vierdegraadsvergelijkingen is er geloof ik ook zo'n formule, maar dat is vast niet de bedoeling.
Bij dit soort vergelijkingen is meestal de bedoeling dat je één oplossing kunt vinden door uit te proberen (hier eigenlijk twee). Met een staartdeling kun je dan de vergelijking vereenvoudigen. Vind je bij voorbeeld een oplossing z=2 kan kun je de vergelijking delen door (z-2). Als je dat twee keer kunt doen houdt je een tweedegraads vergelijking over.
Meestal als je dit soort vergelijkingen krijgt zijn één of meer oplossingen makkelijk te vinden. B.v. z=1 of z=2. Die kun je proberen te zoeken. Een andere mogelijkheid is om eerst met een benadering de oplossingen te zoeken. Als er een een heel getal is, of een eenvoudige breuk, dan kun je controleren of het klopt en verder gaan.
Ik heb al een en ander geprobeerd. Maar nog geen eenvoudige oplossing gevonden. In ieder geval geen heel getal. (overigens kun je bewijzen dat de modulus van z voor alle oplossingen kleiner is dan 4). Klopt de vergelijking wel helemaal.