Hallo kan iemand mij helpen met volgende opgave: Als de hoeken van een driehoek voldoen aan de uidrukking
cos 3a + cos 3b + cos 3c = 1 , dan is één van de hoeken 120 graden. Bewijs.
Ik ben begonnen met het verband te zoeken tussen 3c en 3a,3b 3a+3b+3c = 3p 3c = 3p- (3a+3b) 3c = p - (3a+3b) (-2p) (supplementaire hoeken)
Ik loop vast tijdens het uitreken. Is dit de juiste manier of hoe moet het anders.
Dank bij voorbaat, Thomas
Thomas
3de graad ASO - zondag 10 december 2006
Antwoord
Dag Thomas,
NB: deze vraag werd eerder (op een andere manier) beantwoord, zie http://www.wisfaq.nl/showrecord3ict.asp?id=22097
Ik moet zeggen, het is niet echt een eenvoudige oefening... Je bent wel goed begonnen. Uit je laatste regel kan je halen dat cos(3c)=-cos(3a+3b) want die 2p meer of minder maakt toch geen verschil als je de cosinus neemt.
Vul dat in in het gegeven, je krijgt cos(3a)+cos(3b)=1+cos(3a+3b)
Je zou de formule voor som van twee cosinussen kunnen toepassen op het linkerlid en eens kijken wat dat geeft:
2cos((3a+3b)/2)cos((3a-3b)/2)=1+cos(3a+3b)
Dat is nog niet zo slecht, want rechts heb je nu de cosinus van 3a+3b, en links heb je de cosinus van de helft daarvan staan. Dus als je de dubbelehoekformule toepast op het rechterlid zou je wel iets interessants kunnen krijgen...
2cos((3a+3b)/2)cos((3a-3b)/2)=2cos2((3a+3b)/2)
De 2 kan je schrappen, dan staat er nog iets van de vorm xy=x2, met dus als oplossing x=0 of x=y. Hier komt dat neer op cos((3a+3b)/2)=0 of cos((3a+3b)/2)=cos((3a-3b)/2)
Werk dit uit (wanneer is de cosinus van een hoek gelijk aan nul? Wanneer zijn de cosinussen van twee hoeken aan elkaar gelijk?) Je zal drie gevallen krijgen, telkens met iets als 2kp erin. Maar je weet natuurlijk dat a,b en c tussen 0 en p liggen. Uiteindelijk krijg je dan als enige mogelijkheden a+b=p/3 (dus c=2p/3), ofwel a=2p/3, ofwel b=2p/3.
En dus is er altijd een hoek gelijk aan 2p/3.
NB: elke driehoek die een hoek gelijk aan 2p/3 heeft voldoet trouwens aan de gegeven gelijkheid: stel dat c=2p/3, dan a+b=p/3 dus 3a+3bp dus cos(3a)=-cos(3b) dus cos(3a)+cos(3b)+cos(3c)=0+cos(2p)=1.
