f is een functie in , waarvoor geldt: a) f(2) = 2 b) "m,n:f(m*n)=f(m)*f(n) c) f is strikt stijgend Bewijs dat f de identieke functie is op .
Je kan direct zien dat f de identieke functie is op , maar hoe moet je de bovenstaande gegevens in en bewijs gieten?
Alvast bedankt,
Jeroen
3de graad ASO - woensdag 25 oktober 2006
Antwoord
Dag Jeroen,
Ik denk dat je best de volgende stappen neemt: - Vul eens m=1 in (n willekeurig), dan zie je wat f(1) moet zijn. - f(4)=f(2)*f(2)=4; f(8)=f(4)*f(2)=4*2=8 enzovoort, probeer dit eens op te schrijven als bewijsje met inductie. Zo heb je dus al f(n)=n voor n een macht van 2. - De andere getallen: is er gegeven dat f een functie is van naar ? Met andere woorden, is gegeven dat de functiewaarden ook natuurlijke getallen zijn? Zoja dan is het niet meer zo moeilijk: f(4)=4 en f(8)=8, dan is de enige strikt stijgende rij hiertussen 5,6,7 dus f(5)=5 enzovoort, dit kan je doen tussen elke twee machten van 2.
Zoniet dan reageer je maar, maar ik denk niet dat dat zo eenvoudig aan te tonen zal zijn...