Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Sommatie Fibonacci-reeks

Beste mede-beantwoorders,

Ik zou moeten bewijzen dat
sommatie.gif
Ik heb al geprobeerd om de expliciete Fibonacci-formule te gebruiken (van Binet) dat hielp niet, en de termen herschrijven zodat sommige termen elkaar opheffen helpt ook niet.... hebben jullie misschien een idee?

Groetjes,

Davy.

Davy Q
Beantwoorder - zondag 26 maart 2006

Antwoord

Beste Davy,

We beginnen met op te merken dat:
1/F(n)F(n+1) - 1/F(n+1)F(n+2)

= F(n+2)-F(n)/F(n)F(n+1)F(n+2)

= F(n+1)/F(n)F(n+1)F(n+2)

= 1/F(n)F(n+2)

Zodat jouw som zich laat herschrijven als:
å1/F(2n-1)F(2n+1)...........(1)

Nu kunnen we gebruik maken van een identiteit:

F(n+2m)+F(n)=L(2m-1)F(n+2m-1).....(2)

waar L natuurlijk de Lucas-getallen geeft (1,3,4,7,...).

Deze identiteit is een uischrijfoefening als we weten dat
  • F(n)=F^n - F^(-n)/Ö5
  • L(n)=F^n + F^(-n).

De eerste twee termen van (1) laten zich dus optellen tot:

1/F(1)F(3)+1/F(3)F(5)

= F(1)+F(5)/F(1)F(3)F(5)

= (met (2)) L(2)F(3)/F(1)F(3)F(5)

= L(2)/F(1)F(5)

= F(4)/F(1)F(5) .....................(3)

Evenzo vinden we voor de derde en vierde term van (1) samen:

F(4)/F(5)F(9)........................(4)

Gebruikmakend van een andere beroemde identiteit, L(n)F(n)= F(2n) (ook een simpele uitschrijfoefening) zijn de eerste vier termen van (1) (de eerste 8 van jouw som) via (3) en (4) weer samen te nemen tot

F(4)/F(1)F(5) + F(4)/F(5)F(9)

= F(4)(F(1)+F(9))/F(1)F(5)F(9)

= F(4)L(4)/F(1)F(9)

= F(8)/F(1)F(9) .....................(5)

Natuurlijk is dit allemaal goed te vertalen in een algemeen geldige inductiestap.

Je concludeert dan met volledige inductie dat de eerste 2m termen uit jouw som, analoog aan (5), samen worden tot:

F(2^m)/F(1+2^m)

dus de som convergeert naar 1/F ((1) is immers monotoon), zoals de bedoeling was.

FvL
woensdag 29 maart 2006

©2001-2024 WisFaq