Hallo, ik heb 3 vergelijkingen met complexe getallen en ik heb geen idee hoe ik dit aan moet pakken. Kan iemand mij hiermee helpen? Dit zijn de vergelijkingen: 1) Los op: z5=32j 2) Los op: z3=8+8j 3) Los op: z4-z=0
Ze vragen ook nog iets waar ik niet uitkom, misschien dat iemand me daar ook mee kan helpen. 4) Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm van een e macht: 3-9j
Alvast bedankt,
Paul
Paul
Student hbo - maandag 13 februari 2006
Antwoord
Beste Paul,
Het bepalen van nde-machtswortels van complexe getallen gaan een stuk gemakkelijker als dat complexe getal in exponentiële notatie wordt geschreven. We herschrijven dus x+iy als reit met de modulus r = √(x2+y2) en het argument t = arctan(y/x).
In je eerste opgave schrijf ik z ook in die vorm, ik neem z=reit. We kunnen ook 32j in die vorm schrijven (reken zelf na wat dat wordt), ik noteer in het algemeen een complex getal seiu met nu s de modulus en u het argument omdat deze kunnen verschillen van r en t. Maar zn is dan (reit)n = rneint. Dus: rneint = seiu
Hieruit volgt dat rn = s dus r = s1/n. Nu even oppassen, complex is de exponentiële functie periodiek met periode 2$\pi$i, we hebben dus: nt = u+2k$\pi$ dus t = (u+2k$\pi$)/n. Laat hierin n lopen van 0 tot 4 (één minder dan je macht van de wortel) en je hebt alle wortels gevonden.
Opgave 2 kan ook op deze manier, 3 ontbindt je eerst (splits dan op in twee gevallen) en voor 4 heb je de formules al hierboven staan.
