\require{AMSmath}

Diameter cirkel = nulpunten polynoom

gegeven is het polynoom: x²-ux+v=0
de nulpunten van het polynoom kunnen gevonden worden door een cirkel te tekenen met diameter het lijnstuk van (0,1)tot (u,v). (waarschijnlijk bestaat er wel een naam voor deze methode maar die weet ik niet)
Gegeven: (x-a)²+(y-b)²=r² is de vergelijking met het middelpunt (a,b) en straal = r

gevraagd: geef bewijs dat de constructie inderdaad de nulpunten oplevert van de 2e graads vergelijking.

om heel eerlijk te zijn snap ik er geen sikkepit van

Perune
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 15 december 2005

Antwoord

Het miden van het lijnstuk met eindpunten (0,1) en(u,v) is (¹/₂u,¹/₂(v+1))
Dus in (x-a)²+(y-b)²=r² geldt a=¹/₂u en b=¹/₂(v+1)
De lengte van het lijnstuk door de punten (0,1) en(u,v) is Ö(u²+(v-1)²)
Dus in (x-a)²+(y-b)²=r² geldt r=¹/₂Ö(u²+(v-1)²), dus r²=¹/₄(u²+(v-1)²)
Vul dit allemaal in in de vergelijking van de cirkel.
(x-¹/₂u)²+(y-¹/₂(v+1))²=¹/₄(u²+(v-1)²)
Stel nu y=0: (oftewel bepaal de snijpunten van de cirkel met de x-as):
(x-¹/₂u)²+(-¹/₂(v+1))²=¹/₄(u²+(v-1)²)
Uitwerken levert:
x²-ux+¹/₄u²+¹/₄(v²+2v+1)=¹/₄u²+¹/₄(v²-2v+1)
x²-ux+¹/₄u²+¹/₄v²+¹/₂v+¹/₄=¹/₄u²+¹/₄v²-¹/₂v+¹/₄
Dus
x²-ux+v=0
Oftewel de nulpunten van de cirkel voldoen aan de vergelijking x²-ux+v=0. En dat was waar we mee begonnen.
Je kunt dus de nulpunten van het polynoom construeren door de cirkel met genoemde eigenschappen te construeren en deze cirkel te snijden met de x-as.

hk
donderdag 15 december 2005

©2001-2024 WisFaq