Ik heb me de laatste weken verdiept in een cursus lineaire algebra. Ik ben nu bijna klaar maar ben tegen een vraagstuk opgelopen: Let R3 have the Euclidean inner product, and let u= (1,1,-1) en v=(6,7,-15) If ||k*u + v || = 13, what is k?
Volgens mij kan deze vraag helemaal niet zo moeilijk zijn maar ik doe iets fout. Door het inproduct te nemen van u en v kan ik zien dat de twee vectoren niet loodrecht op elkaar staan, immers het inproduct is niet gelijk aan 0. De lengte van een vector bereken je door de wortel van de kwadraten te nemen. Dat heb ik in mijn theorie kunnen vinden. Nu moet ik echter de som van twee vectoren nemen en daar de lengte van bepalen. Ik heb van allerlei formules uitgewerkt maar krijg geen logisch antwoord. Uiteindelijk is k de enige onbekende dus dat mag in principe geen probleem zijn.
Ik heb een aantal kleine vragen, hoe kan ik dit vraagstuk het beste oplossen? Kan ik er met deze formule uitkomen: ||u+v||2 + ||u-v||2 = 2(||u||2+||v||2)? Dat heb ik geprobeerd maar daar kwam ik er niet mee uit. Moet ik misschien iets doen met orthogonale complementen? Daar gaat de desbetreffende paragraaf namelijk deels over. En tenslotte wat is het verschil tussen een gewoon inproduct en een Euclidean inproduct. Mijn dank is groot voor diegene die mij verder wil helpen. PS de notatie ||v|| wordt in mijn cursus gebruikt om een lengte van een vector aan te duiden.
Rens v
Student universiteit - dinsdag 15 november 2005
Antwoord
Beste Rens,
Er is niet zoiets als een 'gewoon inproduct', het Euclidisch inproduct is een voorbeeld van een inproduct.
Algemeen (ik beschouw enkel het reële geval hier) noemen we een afbeelding b:E x E® (met E een reële vectorruimte) een inwendig product als het bilineair, symmetrisch en positief definiet is.
Zonder hierop in detail verder te gaan wil ik opmerken dat je dus meerdere inproducten kunt definiëren. Wat jij bedoelt met het "Euclidean inproduct" is het bekende inwendig product dat we ook wel scalair product noemen en waarbij we het product nemen van de overeenkomstige componenten van de twee vectoren en die dan optellen.
We definiëren de lengte of norm van een vector (in een Euclidische ruimte) als de vierkantswortel uit het scalair product van die vector met zichzelf. Of, andersgezegd, het scalair product van een vector met zichzelf is gelijk aan zijn norm in het kwadraat.
Het is precies die definitie die we kunnen gebruiken om je oefening op te lossen. Wat er binnen de norm staat heeft namelijk nog niets te maken met het inproduct. Er staat gewoon een vector - vermenigvuldigd met een scalair (i.e. elke component van die vector daarmee vermenigvuldigen) - optellen bij een andere vector (componentsgewijs optellen). Dan hou je gewoon één vector over waarbij de onbekende k voorkomt in zijn 3 componenten. Pas dan bovenstaande definitie toe.
(met E een reële vectorruimte) een inwendig product als het bilineair, symmetrisch en positief definiet is.
Re: Euclidean Inner Product 