\require{AMSmath}

Priemgetallen

Ik heb een lastige vraag, zelf denk ik dat de stelling klopt maar eeen vriend van me probeert het tegendeel te bewijzen. Wat denkt u ervan?
stelling:
een natuurlijk getal n= ck|ck-1|...|c1|c0 is deelbaar door 11 dan en slechts als c0-c1+c2-c3+c4-c5...ck deelbaar is door 11.
( het getal achter de c, moet rechtsonder de c staan (klein) maar dat kon ik niet typen.)
Weet u het antwoord? en waarom?
alvast hartelijk bedankt!

Karlij
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 8 maart 2005

Antwoord

Van links naar rechts.
Vermenigvuldig het getal abcd eens met 11 dan krijg je abcd0+abcd = a|b+a|c+b|d+c|d. Van dit getal weet je dat het deelbaar is door 11.
En je krijgt, door alternerend de opeenvolgende cijfers op te tellen of af te trekken, a-(b+a)+(c+b)-(d+c)+d = a-b-a+c+b-d-c+d = 0
Nu dit was in de veronderstelling dat a+b, b+c en c+d allemaal kleiner zijn dan of gelijk aan 9.
Stel vb. dat a+b10 dan is het product abcd*11 = a+1|a+b-10|c+b|d+c|d en de som wordt a+1-(a+b-10)+c+b-(d+c)+d = 11

Wordt er nog ergens een som groter dan of gelijk aan 10 dan zal de uiteindelijke som een veelvoud worden van 11.

Dit kan je veralgemenen.

Omgekeerd. Stel dat c₀-c₁+c₂-c₃+c₄-c₅...c_k deelbaar is door 11.
vb. 74602 stel
a₀=c₀=2
a₁=(c₁-a₀)mod 10 = 0-2 mod 10 = 8
a₂=(c₂-a₁-(a₀+a₁div 10) = (6-8-(2+8 div 10)) mod 10 = -2-1 mod 10 = 7
a₃=(c₃-a₂-(a₁+a₂div 10) = (4-7-(7+8 div 10)) mod 10 = -3-1 mod 10 = 6

= a₃a₂a₁a₀=6782
met 6782 * 11 = 74602.

Dit is geen bewijs uiteraard, maar laat je ergens wel inzien hoe je dit eventueel zou kunnen bewijzen. Aan u om dit te veralgemenen.

Dit laat alleszins wel aanvoelen dat je stelling inderdaad klopt.

Met vriendelijke groeten,

Els
dinsdag 8 maart 2005

©2001-2024 WisFaq