\require{AMSmath}

Pythagorasboom

Ik heb een vraag over de Pythagorasboom. Ik ben bezig met een po wiskunde over Pythagoras. Volgens mij is de boom van Pythagoras niet het belangrijkste deel van Pythagoras, maar toch wil ik dit niet onthouden uit mijn po. Ik heb een vraag over hoe je weet dat de boom maar viermaal de hoogte en zesmaal de breedte van het oorspronkelijke vierkant kan aannemen. Deze informatie vond ik op De ware geschiedenis van de BOOM VAN PYTHAGORAS (1). Ik hoop dat u me kan helpen, alvast bedankt.

Marlee
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 19 oktober 2004

Antwoord

Op de website die je noemt staat zelfs: 'Iets wat iedereen met enige wiskundige kennis over reeksen gemakkelijk kan controleren.' Dus moet kunnen...

We kijken eerst maar eens naar het plaatje. Misschien kunnen we 't daar eerst laten zien en dan zien we wel weer...



We nemen voor de hoogte van A de lengte 1. Dan heeft vierkantje B de ook de 'hoogte' 1. De hoogte van vierkantje C is dan een ¹/₂. Vierkantje D heeft dan ook de hoogte een ¹/₂. En zo verder en verder.... (ga na!)

Dus de hoogte wordt: 1+1+¹/₂+¹/₂+¹/₄+¹/₄+¹/₈+¹/₈+...

Of korter geschreven:

Hoogte=2·(1+¹/₂+¹/₄+¹/₈+...)

De uitdrukking tussen de haakjes is een bekende meetkundige reeks. De uitkomst daarvan is (oneindig veel termen) precies 2. Dus de hoogte is op z'n 'hoogst' dus 4.

Hetzelfde kan je doen voor de breedte van de boom, dus ga je gang!

WvR
woensdag 20 oktober 2004

Re: Pythagorasboom

©2001-2024 WisFaq