\require{AMSmath}

Tautologie met verzwakking en versterking

Ik heb wat problemen met het toepassen van versterking en verzwakking bij proposities. Bij de volgende propositie moet worden aangetoond dat het een tautologie is.

(R Ù (P Þ Q)) Þ ((R Þ P) ÞQ)

Nu is er een lemma dat zegt: Als P sterker Q, dan is
P Þ Q een tautologie. Hiervan uitgaande, laat ik de middelste implicatie staan in de hoop aan te kunnen tonen dat de linker kant sterker is dan de rechterkant.

De afleiding die ik vervolgens gemaakt heb:

(RÙ(PÞQ))Þ((RÞP)ÞQ)
{ 3x implicatie, middelste blijft}
(RÙ(ØPÚQ))Þ(Ø(ØRÚP)ÚQ)
{de morgan en dubbele negatie wegwerken geeft:}
(RÙ(ØPÚQ))Þ((RÙP)ÚQ)
{distributiviteit 2x geeft}
((RÙØP)Ú(RÙQ))Þ((QÚR)Ù(QÚP))

Als het goed is mag ik nu de disjunctie verzwakking toepassen: ( P sterker PÚQ)
(QÚR) wordt dan Q en (QÚP) wordt ook Q

((RÙØP)Ú(RÙQ))Þ(QÙQ)
{idempotentie geeft Q}
((RÙØP)Ú(RÙQ))ÞQ

Op dit moment zou ik dus moeten bewijzen dat het linker gedeelte sterker is dan Q. Als ik echter een waarheidstabel teken komt hieruit dat deze proposities niet vergelijkbaar zijn en het linkerlid is niet echt meer verder af te leiden omdat er 3 verschillende variabelen gebruikt worden.

Mijn vragen:
Mag ik die verzwakkingsregel voor disjunctie zo gebruiken zoals ik in mijn afleiding gebruikt heb?
Ik kan niet bewijzen dat het linkerlid sterker is dan Q en dus kan ik ook de tautologie niet aantonen. Waar heb ik een fout gemaakt of wat had een betere aanpak geweest?

Bedankt!

Joost
Student universiteit - dinsdag 14 september 2004

Antwoord

Beste Joost.
Een alternatieve verificatie van het feit dat een bepaalde formule een tautologie is, is de waarheidstabel te maken. Die moet dan alleen enen bevatten. Maar dat is kennelijk niet de bedoeling.
In uw afleiding zit een fout. De Morgan maakt van Ø(ØRÚP) niet RÙP maar RÙØP.
Even later krijgt u dan ((RÙØP)Ú(RÙQ)) ® ((RÙØP)ÚQ), hetgeen door verzwakking van het linkerlid van de implicatie eenvoudig aantoonbaar is.
Nog over een andere bewering van u. Twee proposities zijn altijd vergelijkbaar. Gebruik in beide waarheidstabellen alle voorkomende variabelen, dus ook die van de andere propositie.

hr
donderdag 16 september 2004

©2001-2024 WisFaq