hoi ik heb een vraag: hoe los ik de som toon de volgende beweringen met de middelwaardestelling aan: 1) voor 0x0,5p geldt tan(x)x 2) voor x0 geldt arctan(2x)-arctan(x)x/(1+x2)
hopelijk kunnen jullie me helpen, want ik kom er echt niet uit. Alvast bedankt Linda Pennings
Linda
Student universiteit - zondag 12 september 2004
Antwoord
Middelwaardestelling: Als f(t) afleidbaar is in [a,b], dan zit er in ]a,b[ minstens 1 punt p waarvoor f'(p) = [f(b)-f(a)]/[b-a]
1) Stel a=0 en b=x e, f(t)=tan(t). Dan zit er in het interval ]0,x[ steeds een p waarvoor
1/cos2(p) = [tan(x)-0]/[x-0]
Aangezien p in ]0,x[ zit, ligt p ook zeker in ]0,p/2[ en steunend op de eigenschappen van de cos-functie is het linkerlid dan zeker groter dan 1, dus ook het rechterlid
tan(x)/x 1 tan(x) x (geen wisseling van ongelijkheidsteken aangezien x0)
x
x
x/(1+x2)