Hoi, ik heb eigenlijk een heel algemene vraag hoe je zoiets (als hieronder staat beschreven) aanpakt en aan de hand van dit voorbeeld kan ik die het beste stellen. Bereken òòydS over het gebied S waarbij S het deel is van de kegel z=Ö(2(x2+y2) dat ligt onder het vlak z=y+1. Ons analyse boek geeft alleen voorbeeld van een gebied S dat tussen bijvoorbeeld z=1 en z=2 ligt (wat dan erg makkelijk te bereken is). Alvast bedankt, Groet Adrian
Adrian
Student universiteit - zondag 11 april 2004
Antwoord
Hallo Adrian,
in principe gaat de door jou genoemde situatie niet anders dan wat voor het voorbeeld dat in het boek staat: òòò y dz dy dx, met de juiste grenzen voor x,y en z, waarbij de grenzen voor y nog mogen afhangen van x, en de grenzen voor z nog van x en y (omdat we de integralen over x,y en z van buiten naar binnen uitvoeren; je had natuurlijk ook een andere volgorde kunnen kiezen. De moeilijkheid is dat je nu iets meer moeite doen om te bepalen over welke x en y je moet integreren om een interval voor z te kunnen vinden waarover je kunt integreren. Met andere woorden: wat zijn de randen als je het bovenaanzicht van S tekent in het xy-vlak.
Welnu, S wordt dus bepaald door de ongelijkheden z2 2x2 + 2y2, én z y+1 (en z 0). Uitgedrukt in alleen x en y, zie je dan dat (y+1)2 2x2 + 2y2. De rand van de projectie op het xy-vlak wordt dus beschreven door de vergelijking (y+1)2 = 2x2 + 2y2, 2x2 + y2 - 2y - 1 = 0, 2x2 + (y-1)2 = 2.
Dus -1 x 1, en 1-Ö(2-2x2) y 1+Ö(2-2x2). Om S te beschrijven, merk je dan nog op dat Ö(2x2+2y2) z y+1. Hier staan nu alle grenzen die je nodig hebt. Dus je kunt de integraal als volgt schrijven:
òòò y dS = x=-1ò1y=1-Ö(2-2x2)ò1+Ö(2-2x2)z=Ö(2x2+2y2)òy+1 y dz dy dx.
Ik neem aan dat je nu zelf de integraal wel uit kunt rekenen. En voor andere gevallen: het is dus telkens de bedoeling om de ongelijkheden die het gebied S beschrijven zo te formuleren dat je eerst grenzen voor de "buitencoordinaat" krijgt die niet van de andere coordinaten afhangen, en "naar binnen toe" telkens grenzen die alleen van de coordinaten "die je al hebt gehad" afhangen. Een kwestie van slim naar de figuur kijken en dan de ongelijkheden omschrijven. Veel succes ermee,
2x2 + 2y2, én z 
y+1 (en z 