\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 21538

Re: Integraal; vallend voorwerp met luchtweerstand

Wat rest is dus de vraag wat de integraal van 1/(1-x²) is.
Is deze redeneringswijze juist? Ik denk dat dit zonder breuksplitsen of hyperbolici gaat.
Stel x = sin t en dan is dx = cos t dt zodoende dat integraal van 1/(1-x²)dx te schrijven is als
cos t dt/(cos t)² maw dt/cos t en dit is te schrijven als
-d($\pi$-t)/sin ($\pi$-t) en dit is een gekende integraal nl.
-ln(abs(tan(($\pi$-t)/2))) Klopt dit?

wim
3de graad ASO - vrijdag 19 maart 2004

Antwoord

Grootendeels wel, maar niet helemaal. Je hebt gebruikt dat cos(t)=sin($\pi$-t), maar sin($\pi$-t)=sin(t). Je had moeten gebruiken dat cos(t)=sin($\pi$/2-t), en dan klopt het inderdaad, waarbij nog kan worden opgemerkt dat voor ons probleem 0$<$x$<$1, zodat de substitutie x=sin(t) inderdaad mogelijk is, en dat 0 $<$ ($\pi$/2-t)/2 $<$ $\pi$/2, zodat tan(($\pi$/2-t)/2)$>$0 en dus abs(tan(·))=tan(·). Controleren of dit antwoord dan correct is gaat eenvoudig door te differentieren.
Overigens: om deze standaardintegraal uit te rekenen is waarschijnlijk ooit omgeschreven naar 1/(1-x²) en breukgesplitst...
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

gt
maandag 22 maart 2004

©2001-2024 WisFaq