Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Limiet berekenen + Kettingbreuk

Ik ben bezig met een praktisch opdracht over kettingbreuken, maar ik zit vast bij hetvolgende probleem:

1.

Ik heb de vraag de vorige keer niet helemaal goed gesteld, maar ik bedoel:


De rij is:

Un+1 = 1 + 1/Un

En de vraag is dan

lim Un
n -- oneindig

Volgens mij is deze niet zo moeilijk, maar ik kom er even niet uit.

En mijn 2de vraag, de belangrijkste eigenlijk,

Zal de vereenvoudigde rij van de oneindige ketting breuk 2,2,2,2,... een twee keer zo grote limiet hebben als de vorige rij. (Deze had als kettingbruik 1,1,1,...)

Bedankt

Mark
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 3 maart 2004

Antwoord

Men moet eigenlijk eerst bewijzen dat de rij convergeert.
Stelt men vervolgens de limiet gelijk aan L, dan volgt uit de recurrente betrekking Un+1=1+1/Un door links en rechts van "=" de limiet te nemen: L=1+1/L. Hieruit volgt L2=L+1, (L-1/2)2=5/4, L=(1+Ö5)/2 (ga na dat L=(1-Ö5)/2 niet kan voldoen).
Neem eens beginterm 1, en reken een tiental termen van de rij Un uit.
In de tweede vraag heeft men de recurrente betrekking Vn+1=2+2/Vn. Is de limiet M, dan volgt M=2+2/M, en uiteindelijk M=1+Ö3 (ga dit na). Dus M is niet gelijk aan 2L. Een kettingbreuk laat zich niet zo eenvoudig vereenvoudigen. Reken eens een tiental termen van de rij Vn uit, eerst met beginterm 1 en dan met beginterm 2 (afhankelijk van de beginterm krijgt men verschillende rijen, maar dezelfde limiet).

hr
donderdag 4 maart 2004

©2001-2024 WisFaq