\require{AMSmath}

Tentprobleem

van een stuk tentzeil van 6 meter bij 6 meter moet een zo groot mogelijke (wat betreft inhoud) piramidetent gemaakt worden (vierkant grondzeil met vier even grote zijkanten)
Geef met tekeningen en berekeningen de maten van de tent.

Freek
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 8 februari 2004

Antwoord

Hoi,

We maken abstractie van het praktische en veronderstellen dus dat we perfect naden kunnen stikken. Het grondvlak moet een vierkant zijn. Laten we hier een zijde x nemen. Op elke zijde van dit vierkant zetten we een gelijkbenige driehoek van hoogte d.

Elke opstaande driehoek heeft een oppervlakte van d.x/2. De totale tent heeft dus een oppervlakte van x²+4.d.x/2=x²+2dx. Omdat we geen verlies veronderstellen moet deze oppervlakte dus overeenkomen met die van het tentzeil: S=6.6=36m². Hieruit vinden we: d=(S-x²)/2x.

Met Pythagoras vind je makkelijk de hoogte van de tent: h=sqrt(d²-(x/2)²). Het volume is dan V=x².h/3. Met x is d en dus ook h bepaald. Het volume varieert dus enkel in functie van x. Het is maximaal waar dV/dx van positief naar negatief overgaat. Nogal een rekenoefening, maar vanaf hier kan je het verder alleen. Met die waarde voor x die het maximaal volume geeft, kan je dan d berekenen.

Het rekenen gaat een stuk makkelijker als je de zijde en de hoogte van de opstaande driehoeken uitdrukt in functie van de hoogte h van de piramide. Je bekijkt dan dV/dh.

Groetjes,
Johan

andros
dinsdag 10 februari 2004

©2001-2024 WisFaq