Onder welke voorwaarden mag een binominaal verdeelde stochast met parameters n en p benaderd worden door een poisson-stochast?
monica
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 20 januari 2004
Antwoord
Beste Monica, De Poisson verdeling is gebaseerd op de binomiale verdeling in het geval dat de kans zelfs oneindig klein is (bijna 0)en n oneindig groot, zijn ze exact hetzelfde. Hoe kleiner de kans op succes bij de binomiale verdeling des te beter de benadering. Wat nu precies de grens is staat niet vast. Ik gebruik zelf als p 0,1. Op http://stikpet.uwnet.nl/Quants/ThreeClassicDistrVer080603.pdf kun je een bewijs vinden in de bijlage (in het Engels). Ook op http://mathworld.wolfram.com/BinomialDistribution.html geven ze aan dat de benadering mag als p1. '' betekent 'veel kleiner dan'.
Merk trouwens wel op dat als de kans p>0,9 dat dan vanuit de omgekeerde beredenering met het complement volgt dat deze succes kans (eigenlijk dus de kans op geen succes) kleiner is dan 0,1 en alsnog een poisson benadering toegepast kan worden.
Let op er is nog een benadering, binomiale verdeling met een normale, deze heeft meestal als regel dat np>5 en p tussen 0,1 en 0,9 ligt.
Dus eigenlijk zeg ik dat men meestal aanhoud: 0,1 > p > 0,9 en ga er eigenlijk automatisch vanuit dat n voldoende groot is.
Een medebeantwoorder vond dat de benadering meestal mag worden toegepast als: 1) np<5 of n(1-p)<5 of 2) het 3 sigma interval (mu=np, sigma=wortel(npq) bevat de waarde 0 of n
Je ziet hier zit alweer een klein verschil tussen.
0,1.