\require{AMSmath}

Derdegraadsvergelijking oplossen met de methode van cardano

De examens naderen en tijdens het doorworstelen van de cursus complexe getallen ben ik op een
probleempje gestoten, ik moet deze derdegraads vergelijking oplossen met de methode van Cardano.

opgave
z³-9z²+33z-119=0

ik ben als volgt tewerk gegaan:
1) ik verschuif de onbekende: z=x+a
2) en reken uit

(x+a)³-9(x+a)²-33(x+a)-119=0
= x³+(3a-9)x²+(3a²-18a+33)x+a³-9a²+33a-119=0

3)ik stel (3a-9)=0 dan wordt a=3
dit invullen geeft:
x³+6x-74=0

4) nu stel ik x=u+v
en wordt de vergelijking

(u+v)³+6(u+v)-74=0 ontbinden
= u³+3u²v+3uv²+v³+6(u+v)-74=0
= u³+v³+(3uv+6)(u+v)-74=0

(doordat ik die twee variabelen gekozen heb mag ik een extra voorbeeld kiezen)
ik stel 3uv+6=0 - uv=-2 - u³v³=-8
de vgl wordt dan

= u³+v³-74=0
= u³+v³=0

5) ik stel u³=U en v³=V
dit zijn nu de oplossingen van de vierkantsvergelijking (cfr. som en product)
S²+74S-8=0
Discriminant=D=74²-32=5444 (jullie noemen dit de ABC-formule of zoiets)
U=(-74+[wortel]D)/2 0 =P - u³=P
V=(-74-[wortel]D)/2 0 =Q - v³=-Q

nu probeer ik verder te rekenen...
u en v zouden dus gelijk moeten zijn aan de derde machtswortel van P en -Q
daar zit ik vast, Hoe neem ik die wortels en reken ik verder om uiteindelijk tot een uitkomst
van z te bekomen.
Wat ik uitkom stemt niet overeen met de oplossing die ik in mijn cursus
vind. Er zijn drie oplossingen één daarvan is z=[wortel3]16+[wortel3]4=4,10724

Dank bij voorbaat, en ....
een gelukkig nieuwjaar!!

groeten,
Wim

wim
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 30 december 2003

Antwoord

Beste Wim,
Natuurlijk ook een gelukkig nieuwjaar.
Als ik je probleem uiteindelijk juist begrijp gaat het je om het oplossen van een derdemachtswortel.
³Öc=z
Dit mogen we natuurlijk ook schrijven als:
c=z³

Je hebt duidelijk al wat kennis in huis van complexe getallen en ik neem dus aan dat je van een complex getal in de vorm van a+bi kan herschrijven naar r·e^(F+2kp)i

Dus in het algemeen kunnen we stellen:
zⁿ=c
zⁿ=r·e^(F+2kp)i
z=r^1/n·e^(F/n+2kp/n)i
Voor k=0,1,2,...,n-1 vinden we precies alle (verschillende) complexe oplossingen van de vergelijking zⁿ=c. Het argument F/n+2kp/n kan indien nodig teruggebracht worden tot de hoofdwaarde.

Als voorbeeld:
z³=8
Uitwerking:
z³=8+0·i
r=Ö(8²+0²)=8
F=arg(8+0·i)=0
Dan is de vergelijking te schrijven als:
z³=8·e^(0+2kp)i
z=8^1/3e^(2kp/3)i

k=0 =z₀=8^1/3e^(2·0p/3)i
= 8^1/3
= 2

k=1 =z₁=8^1/3e^(2·p/3)i
= 8^1/3(cos(2p/3)+i·sin(2p/3))
= 2(-1/2+i·Ö(3)/2)
= -1 + iÖ(3)

k=2 =z₂=8^1/3e^(2·2·p/3)i
= 2(cos(4p/3)+i·sin(4p/3))
= 2(-1/2+i·-Ö(3)/2)
= -1 - iÖ(3)

Dit hele verhaal is voornamelijk gebaseerd op de stelling van De Moivre (Abraham de Moivre, 1667 - 1754), die luidt:
(cos F + i sin F)ⁿ = cos nF + i sin nF met n Î

Verder nog een kleine opmerking. Je schrijft:
u^3+v^3-74=0
u^3+v^3=0
Dan zou -74=0 waarschijnlijk bedoelde je:
u^3+v^3=74

Voor meer info over de methode van Cardano kun je ook eens kijken op: Derdemachtswortel

M.v.g.
PHS

PHS
vrijdag 2 januari 2004

©2001-2024 WisFaq