\require{AMSmath}

Oneigenlijke integraal!?

ik moet een primitieve opstellen van een 'oneigenlijk integraal':
integraal(0,¥) (e^-x)*cos(x) *dx

Ik heb als hint om hulp in te roepen van de complexe getallen, maar ik zou niet weten hoe. Zou u mij uit kunnen leggen hoe ik deze kan oplossen (met of zonder complexe getallen) dmv bijvoorbeeld substitutie of partiele integratie.
Groeten Erik

Erik
Student universiteit - zaterdag 13 december 2003

Antwoord

Laten we eerst de primitieve berekenen. Dit doen we door middel van partiële integratie.
Brengen we de exponentiële onder het lengte-element dan krijgen we een minteken door de -x in de exponent (let op: ik pas twee maal partiële integratie toe):
I(x)=òcos(x)·e^-xdx
=
-òcos(x) d(e^-x)
=
-e^-x·cos(x)-òsin(x)·e^-xdx
=
-e^-x·cos(x)+òsin(x) d(e^-x)
=
-e^-x·cos(x)+(e^-x·sin(x)-òcos(x)·e^-xdx)
=
-e^-x·cos(x)+e^-x·sin(x)-I(x)

=

I(x)=-e^-x·cos(x)+e^-x·sin(x)-I(x)
=

2·I(x)=-e^-x·cos(x)+e^-x·sin(x)
=
I(x)=-1/2·e^-x·cos(x)+1/2·e^-x·sin(x)

Nu gebruiken we een truckje voor de grenzen. Je zal het met mij eens zijn dat als ik de grenzen [0,M] invul, en daarna de limiet neem voor M-¥ dat hetzelfde is als de grenzen [0,¥]

Dus I(x) tussen 0 en M geeft (I(M)-I(0)):

-1/2·e^-M·cos(M)+1/2·e^-M·sin(M)+1/2

Nu de limiet M-¥

=

De oneigenlijke integraal heeft de waarde 1/2

Koen Mahieu

km
zaterdag 13 december 2003

©2001-2024 WisFaq