\require{AMSmath}

Een formule die niet lijkt te kloppen

Ik kwam laatst in een wiskundeboek de volgende formule tegen: e^z=(oneindig teken)å(n=0) van de formule (Z^n/n!)

Bij het uitwerken (b)lijkt hier echter weinig van te kloppen:
als ik voor z bijvoorbeeld 2 neem, komt er een oneindig getal uit de formule, want bijvoorbeeld als n=1000 komt uit de formule 2^1000/1000(en het getal wordt bij grotere waardes voor n alleen maar groter), en de uitkomst van de sommatie-rij is zeker niet e^z. Mijn vraag is: doe ik soms wat fout of zie ik iets over het hoofd?

Met dank voor het nemen van de tijd,
Bas

Bas
Student universiteit - maandag 8 september 2003

Antwoord

Die formule is wel goed.

Ik denk dat je die formule echter niet juist interpreteert.
Je schrijft dat er uit komt: 2¹⁰⁰⁰/1000
Maar in de fomule staat er achter de laatste n een uitroepteken: 2¹⁰⁰⁰/1000!
Dat uitroepteken houdt in dat je 2¹⁰⁰⁰ moet delen door
1000! = 1 x 2 x 3 x ... x 1000
Daarnaast gebruik je het å-teken blijkbaar niet. Je gebruikt alleen de laatste term (en onjuist dus).
Dan is het helemaal niet nodig om zoveel termen te nemen.
Laten we eens een benadering nemen voor e² met weinig termen; n = 5).
De formule geeft dan:
e² ~ 1 + 2¹/1! + 2²/2! + 2³/3! + 2⁴/4!+ 2⁵/5!
Dat å-teken betekent dus dat de afzonderlijk berekende termen (n=0, dan n=1, dan n=2, ...) in de formule moeten worden opgeteld.
Nu is:
e² ~ 7,39
en verder:
1 + 2 + 2 + 8/6 + 16/24 + 32/120 = 7,27
Met 5 termen uit de formule hebben we dus al een benadering in bijna 1 decimaal nauwkeurig.
Probeer zelf eens 10 termen... (2¹⁰/10!=4/14175)

dk
maandag 8 september 2003

©2001-2024 WisFaq