\require{AMSmath}

Combinatie zonder herhaling

Als kerstgeschenk wil een moeder aan elk van haar kinderen twee stripverhalen geven uit dezelfde reeks. Op hoeveel manieren kan ze deze acht (verschillende) boekjes aankopen als de reeks uit twintig stripverhalen bestaat.

Volgens mij wordt dit 20! / (20-2)! * 2!
Maar volgens een kennis die privéles ervoor heeft gevolgd moet ge nog is voor elk ander kind die formule herhalen,

Kunnen jullie de juist formule geven en uitkomst ? (zit ik juist?)

Benny
Student Hoger Onderwijs België - maandag 25 augustus 2003

Antwoord

Je zit in de buurt.

Er zijn eigenlijk twee scenarios. De moeder kan voor elk kind twee verschillende boekjes kopen. Dan zou het voor kunnen komen dat ze niet 8 verschillende boekjes koopt. Het is veel logischer dat alle 8 boeken verschillend moeten zijn.

Laten we er eerst maar eens vanuit gaan dat de moeder gewoon 8 verschillende boeken koopt.
Voor het eerste boek heeft ze 20 mogelijkheden om te kiezen. Dan blijven er voor het tweede boek 19 over enzovoort tot de 8 boeken zijn gekozen.
We hebben dan 20ˇ19ˇ18ˇ17ˇ16ˇ15ˇ14ˇ13 mogelijkheden.
Maar de volgorde waarin de moeder de 8 boeken koos doet er niet echt toe, het gaat immers om het eindresultaat: welke 8 boeken. We moeten dit getal dus nog delen door het aantal mogelijke volgordes waarin je de 8 boeken kunt kiezen. Dat is 8ˇ7ˇ6ˇ5ˇ4ˇ3ˇ2ˇ1.

De moeder kan dus op 20ˇ19ˇ18ˇ17ˇ16ˇ15ˇ14ˇ13/8ˇ7ˇ6ˇ5ˇ4ˇ3ˇ2ˇ1 manieren 8 verschillende boekjes uit het totale assortiment van 20 boeken kiezen.

Dit kunnen we ook nog wat eleganter opschrijven:
20ˇ19ˇ18ˇ17ˇ16ˇ15ˇ14ˇ13 = 20!/12!
Dus
20ˇ19ˇ18ˇ17ˇ16ˇ15ˇ14ˇ13/8ˇ7ˇ6ˇ5ˇ4ˇ3ˇ2ˇ1 = 20!/(12!ˇ8!)

Dan nu het aantal manieren waarop de moeder voor elk kind twee verschillende boeken kan kiezen en waarbij het dan niet uitmaakt of er twee kinderen hetzelfde boek hebben. (Het kan dus voorkomen dat de moeder twee verschillende boeken elk 4 keer koopt: dat voorkomt misschien wel ruzie).
In dit geval kun je elk kind apart bekijken.
Je kunt 2 boeken kiezen op 20!/(18!ˇ2!).
Maar dit geldt voor elk kind. Dus
het totaal aantal manieren is {20!/(18!ˇ2!)}⁴

Hopelijk is het nu duidelijk wat het verschil is tussen de twee scenarios en waarom je het aantal manieren zo moet uitrekenen.

gm
woensdag 27 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq