Beschouw de volgende afbeelding g: ,+ ®{1, -1},. waarbij . de gewone vermenigvuldiging van gehele getallen is en waarbij g(a)= -1 als a oneven is en g(a)= 1 als a even is.
1) Bewijs dat g een morfisme is van ,+ op {1,-1} 2) Bepaal de kern van dit morfisme
Kris
Student Hoger Onderwijs België - maandag 25 augustus 2003
Antwoord
Hallo Kris, 1) wanneer is g een morfisme? Als g(a+b)=g(a).g(b) (de + en de . zijn de bewerkingen in de twee groepen). En dat klopt: kijk maar na voor a en b even/even, even/oneven, ... Ik geloof dat er ook nog de bijkomende eis is dat het eenheidselement moet afgebeeld worden op het eenheidselement, en inderdaad g(0)=1
2) De kern is de verzameling elementen van ,+ die op het eenheidselement van de tweede groep worden afgebeeld. In dit geval is dat eenheidselement de 1, in additieve groepen is dat natuurlijk de nul. En in de opgave staat welke getallen er afgebeeld worden op de 1, dus moet dat lukken he.
,+ ®{1, -1},. waarbij . de gewone vermenigvuldiging van gehele getallen is en waarbij g(a)= -1 als a oneven is en g(a)= 1 als a even is. 