Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

 Dit is een reactie op vraag 13277 

Re: Re: Tweede orde

Hallo, ik ben net terug (wel een beetje bruiner dan voordien)
Bedankt voor je uitgebreide antwoord.

Eigenlijk heb ik nog altijd geen eenduidig antwoord op mijn eerste vraag gekregen.

Bij d2u(x)/dx + k2u(x) = 0

Je zei dat de oplossing daarop reëel is (kx en -kx).
Maar in het boek waar ik mee bezig ben (ik ben geïnteresseerd in quantumfysica, maar ga pas dit jaar naar de unief) staat bij die vergelijking één keer dat
u(x)= A cos (kx) + B sin (kx) (hoe komt het trouwens dat de reële goniometrische functies vervangen kunnen worden door imaginaire functies?)

en de andere keer staat er dat de oplossing Aexp(kx) + Bexp(-kx) is.

Hoe zit dat precies in elkaar?


serge
3de graad ASO - maandag 18 augustus 2003

Antwoord

1) u"-k2u=0
karakteristieke veelterm: z2-k2=0 - z=k of z=-k
oplossing: u1(x) = A.exp(-kx)+B.exp(+kx)

2) u"+k2u=0
karakteristieke veelterm: z2+k2=0 - z=ik of z=-ik
oplossing: u2(x) = C.exp(-ikx)+D.exp(ikx)

Aangezien sin(kx) en cos(kx) zelf lineaire combinaties (*) zijn van exp(-ikx) en exp(ikx) kan je dus ook schrijven dat u2(x)=E.sin(kx)+F.cos(kx).

Het verschil tussen beide vergelijkingen is dat in 1) de coefficient van u zeker negatief is, waar hij in 2) zeker positief is (door het kwadraat). Door die coefficient op die manier te noteren weet je zeker in welk geval je je bevindt, wat de waarde van k ook weze.

In jouw boek zal niet staan dat de oplossing nu eens de ene dan eens de andere is. Het zal wel degelijk gaan om een andere vergelijking.

(*)
sin(kx) = (1/2i)[exp(ikx)-exp(-ikx)]
cos(kx) = (1/2)[exp(ikx)+exp(-ikx)]

cl
maandag 18 augustus 2003

 Re: Re: Re: Tweede orde 

©2001-2024 WisFaq