De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Niet exacte differentiaalvergelijking

 Dit is een reactie op vraag 92973 
Dag Klaas Pieter,
Integrerende factor.
Ik berekende dat de beide uitdrukkingen M(y)=2y en N(x)=-y(Mindex (x) en N= niet gelijk zijn en dus de de gegeven DV niet exact is.
Ik zie dan in een cursus( AYRES F.Differential Equations) staan dat we het verschil M(y) en N(x) nemen. Dit verschil delen door N en dan krijgen we toch:
3y/(y2+2)
2y-(-y)=3y.DT resultaat delend door N geeft =3y/(y2+2)
Ik neem dan voor
P(x) =e^(p(x)dx
= e^($\in$(3y/(y2+2))
=e3/2ln(y2+2
═^(ln (y2+2))3/2 =
=(y2+2)3/2
Punt 2 akkoord.
Punt 3
Daar heb ik IF dus foutief zien staan in de geciteerde cursus. Ik ga er altijd vanuit dat die antwoorden correct zouden zijn, .Maar neen, dus niet steeds ...
Punt 4 akkoord
Punt 5 nog graag wat uitleg nog graag wat uitleg .
Dank voor uw tijd .Sorry voor de overlast
Groetjes

Rik Le
Iets anders - zaterdag 4 december 2021

Antwoord

1. Ik heb in Ayres' boek gekeken en dit gevonden
q92998img1.gif
Kijk nog eens goed: er staat $-g(y)$, dus je moet de primitieve van $-\frac{3y}{{y^2+2}}$ hebben, en die levert de integrerende factor die ik ook gevonden heb: $(y^2+2)^{-\frac32}$. Het recept van Ayres komt voort uit wat ik al eens eerder heb gedaan: stellen dat er een integrerende factor $\varphi$ is die alleen van $y$ afhangt en daar een differentiaalvergelijking voor afleiden. Je krijgt dan
$$\frac{d\varphi}{dy}=\frac{N_x-M_y}{M}\cdot\varphi
$$en de oplossing hiervan levert het recept van Ayres.

5. Als je (de nieuwe) $M$ naar $x$ primitiveert komt er
$$\int\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,dx=\frac{x}{\sqrt{y^2+2}}+h(y)
$$met $h(y)$ een functie van alleen $y$.
De nieuwe $N$ naar $y$ primitiveren levert
$$\int -\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}}-\frac{y}{\sqrt{y^2+2}}\,dy
=\frac{x}{\sqrt{y^2+2}} - \sqrt{y^2+2} +C
$$(beide met een eventuele substitutie: $u=y^2+2$).

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 4 december 2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3