De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Eerste graad DV tweede lid nul

Gozede morgen ,
Ik ben al even bezig geweest met het berekenen van volgende DV:
(2+y2)dx-(xy+y2+y^3)dy=0
Ik zocht de exactheid of niet van deze Dv
PartiŽel M naar x gaf : 2y (1)
PartiŽel N naar x gaf ::-y (2) Niet exact (1) (2).
Ik berekende dan
(partiŽel M naar y)- (-)(partiŽel N naar x)/(M)
en bekomen dan 2y-(-y)=3y
Ik bekomen dan 3/y2+2 als IF.
NU zou de DV wel exact moeten zijn. maar ik heb geen idee hoe ik hier de productformule voor afgeleiden kan toepassen als ik 3/(y2+2) invoer in het linker lid.
De cursus geeft voor IF wel 2y-y=y
en INT y/y2+2)dy= 1/2(d(y2+2)/y2+2) = 1/2(ln(y2+2)= grondtal e (macht(ln(y2+2)^1/2)) =1/sqrt(y2+2).
Wat hulp is welkom .
Groetjes

Rik Le
Iets anders - zaterdag 20 november 2021

Antwoord

Waarom zou het quotient dat je noemt een integrerende factor moeten zijn? En dat quotient is overigens gelijk aan $3y/(y^2+2)$.
Om te controleren of het een integrerende factor is kun je ermee vermenigvuldigen en opnieuw de exactheidsvoorwaarde controleren, met de nieuwe $M$ (dat is $3y$) en de nieuwe $N$ (dat is $-(3xy^2+3y^3+3y^4)/(y^2+2)$).

Hetzelfde kun je doen met de door de cursus gesuggereerde integrerende factor. Beiden werken overigens niet.

Als je de methode van dit antwoord toepast (en ook veronderstelt dat $\phi$ alleen van $y$ afhangt) krijg je deze differentiaalvergelijking:
$$(y^2+2)\cdot\phi' = -3y\cdot\phi
$$of
$$\frac{\phi'}\phi=-\frac{3y}{y^2+2}
$$met als oplossing $\phi(y)=(y^2+2)^{-\frac32}$, en die factor maakt de differentiaalvergelijking wel exact.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 20 november 2021
 Re: Eerste graad DV tweede lid nul 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3