De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijstechnieken

Hallo Wisfaq,

Volgende stelling met bewijs ben ik tegengekomen in een wiskundeboek :

Als de functie f van R naar R continu is in [a,b] dan is ze begrensd in [a,b]

Bewijs :

We merken eerst op dat f gedefinieerd is in b, zodat f(b) een element is van R

Beschouw dan de verzameling :
D = {x element van [a,b];f[a,x] is begrensd}

D heeft een supremum want :
a element van D $\Rightarrow$ D =/= {}
b element maj D $\Rightarrow$ D is gemajoreerd

Stel sup D = m

We tonen aan dat m = b zodat f begrensd is in [a,b[ en dus ook in [a,b].

Indien m $<$ b dan zou volgens een voorgaande stelling(ˇ) een interval ]m-d,m+d[ bestaan waarin f begrensd is.
Maar dan is f begrensd in [a,m+d[ zodat m het supremum niet is van D.

(ˇ) Als f continu is in m dan bestaat er een d element van R+/{0} zodanig dat f begrensd is in ]m-d,m+d[

Mijn vraag : is dit een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde ((not p) $\to$ (qnot q)) $\Rightarrow$ p ?

definieer :
uitspraak p : b = sup D
en not p : b =/= sup D
uitspraak q : f is begrensd in [m,m+d[
en not q : f is niet begrensd in [m,m+d[
waarbij de premisse (not p) $\to$ (qnot q) waar is
en qnot q een contradictie is
waardoor not p niet waar en bijgevolg p waar is

Met dank,

Rudi

Rudi
Ouder - zondag 24 oktober 2021

Antwoord

Er ontbreekt nog iets aan het bewijs: waarom zou $f$ begrensd zijn op $[a,m)$ als $m=\sup D$? Je weet dan alleen dat $f$ begrensd is op $[a,x]$ voor $x$-en die kleiner zijn dan $m$. Denk aan $f(x)=1/(1-x)$; die is begrensd op $[0,x]$ voor elke $x $<$ 1$, maar niet op $[0,1)$.

De structuur is inderdaad zoals je schetst. Wel oppassen dat de $q$ pas achteraf opgesteld wordt omdat de $\delta$ niet vooraf bekend is.

Wat je dus nog moet bewijzen is dat $m=\sup D$ tot $D$ behoort, maar dat gaat met je hulpstelling: neem $\delta > 0$ zó dat $|f(x)-f(m)|\le1$ als $|x-m| < \delta$. Neem $d\in D$ met $m-\delta < d\le m$. Dan is $f$ begrensd op $[a,d]$, zeg met bovengrens $M$, en op $[m-\delta,m]$, met bovengrens $f(m)+1$. Dan is $f$ dus begrensd op $[a,m]$ met bovengrens $\max\{M,f(m)+1\}$.

Bij de conclusie dat $m$ niet het supremum was kun je explicieter zijn: $f$ is ook begrensd op $[a,m+\frac12\delta]$, dus $m+\frac12\delta\in D$.

Kijk ook hier eens voor wat meer uitleg over bewijs uit het ongerijmde.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 24 oktober 2021
 Re: Bewijstechnieken 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3