De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Argument bewijs complexe analyse

Beste

Ik snap niet goed wat er met de volgende argument bedoeld wordt: Zij K bevat in B(0,R) een contour met beginpunt 0 en eindpunt z. Omdat K compact is, is d(K,C\B(0,R))$>$0, zodat K bevat is in B(0,r) voor r$<$R. Hoe impliceert het compact zijn van K dat d(K,C\B(0,R))$>$0? Daarbij snap ik ook niet zo goed wat de afstand tussen K en C\B(0,R) voorstelt? Alvast dank ik u bij voorbaat.

Met vriendelijke groeten
Rafik

Rafik
Student universiteit BelgiŽ - donderdag 21 oktober 2021

Antwoord

In het algemeen definieer je de afstand tussen een punt $z$ en een verzameling $A$ als $d(z,A)=\inf\{|z-a|:a\in\}$.
En de afstand van $K$ tot $A$ is dan $\inf\{d(z,A):z\in K\}$.

In dit geval is die afstand ook meetkundig aan te geven: $d(z,\mathbb{C}\setminus B(0,R))$ is de afstand van $z$ tot de cirkel om $0$ met straal $R$, en als $z$ in de bol ligt wordt dat $R-|z|$.
Deze functie is continu en neemt op de compacte verzameling $K$ dus een minimum aan, zeg in het punt $z_0$. Dan is $R-|z_0|$ de afstand van $K$ tot $\mathbb{C}\setminus B(0,R)$. Het punt $z_0$ ligt het dichtst bij $\mathbb{C}\setminus B(0,R)$ en bepaalt daarmee de afstand tussen die twee verzamelingen.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 21 oktober 2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3