De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Gladheidseigenschappen van oplossingen

Hallo,

In mijn wiskundeboek staat de volgende opgave: laat zien dat alle oplossingen van the ODE y'=sin(y) oneindig differentieerbaar zijn. (hint: merk op dat de eigenschap van siny een oneindig differentieerbare functie is van y)

Ik snap dat sin(y) oneindig differentieerbaar is, maar weet niet hoe ik dit kan bewijzen in de ODE. Hopleijk kunt u mij helpen.

Erwin
Student hbo - vrijdag 10 juli 2020

Antwoord

Het gaat het best met volledige inductie:
Basis: $y$ is differentieerbaar
Volgende stap: $y'(x)=\sin y(x)$ is ook differentieerbaar: wegens de kettingregel geldt $y''(x)=\cos y(x)\cdot y'(x)=\cos y(x)\cdot \sin y(x)$.
Als je een paar keer doordifferentieert zul je zien dat elke volgende afgeleide $y^{(n)}(x)$ te schrijven is als $P_n(\sin y(x),\cos y(x))$, waar $P_n$ een polynoom is.
Dat kun je dan met inductie bewijzen; en dus volgt dat alle afgeleiden $y^{(n)}(x)$ bestaan.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 10 juli 2020



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3