De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Meetkunde translatie

Op de zijden van een willekeurige driehoek ABC worden naar buiten toe gelijkzijdige driehoeken geconstrueerd. De centra hiervan noemen we M1, M2, en M3. We gaan met behulp van isometrieŽn bewijzen dat driehoek M1M2M3 gelijkzijdig is.

DefiniŽer Rp = R(Mp, 120) en beschouw de samenstelling
T:= R1R2R3

Vraag 1:
Bewijs dat T (als samenstelling van deze drie rotaties) in principe een translatie is.

Vraag 2:
Onderzoek het beeld van B

Bra
Student hbo - dinsdag 21 april 2020

Antwoord

Hallo Bra,

Voor vraag 1:
De samenstelling van twee rotaties over $\phi_1$ en $\phi_2$ is een rotatie over $\phi_1 + \phi_2$, tenzij $\phi_1 +\phi_2$ een veelvoud is van 360į, dan is het een translatie. Met drie opeenvolgende rotaties van 120į is dat laatste het geval.

Voor vraag 2:
Omdat $M_1$ het midden is van de gelijkzijdige driehoek op zijde $BC$, is $\angle BM_1C = 120^\circ$. Dat betekent dat het beeld van $B$ onder $R_1$ gelijk is aan $C$. Ik krijg bij het samenstellen daarom achtereenvolgens $B \rightarrow C \rightarrow A \rightarrow B$.

Voor het bewijs:
Die translatie $T$ moet dus een nultranslatie zijn.

Kijk nu wat er gebeurt met $M_1$ in deze samenstelling. Bij $R_1$ gebeurt er niets, want $M_1$ is het centum. Vervolgens geeft de combinatie van de twee rotaties $R_2 \circ R_3$ dat $M_1$ heen en weer gaat naar een ander punt, zeg $N_1$. Kun jij achterhalen waarom $\Delta M_1M_2N_1$ en $\Delta N_1M_3M_1$ congruent zijn? Kom je zo bij het bewijs?

Met vriendelijke groet,

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 22 april 2020



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3