|
|
\require{AMSmath}
Een implicatie van een limiet naar een andere
Gegeven is een functie f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Te bewijzen is: Als \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = b voor een b \in \mathbb{R}, dan geldt \lim_{x \rightarrow 0} f(x^3) = b. Mijn huidige bewijs maakt van f(x^3) een andere functie en dit gaat niet goed alleen zie ik niet waar.
Bewijs: Definieer g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} met g(y) = f(y^3). Het is dus ook goed om te bewijzen dat als \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = b voor een b \in \mathbb{R}, dan geldt \lim_{y \rightarrow 0} g(y) = b. Zij \epsilon \in \mathbb{R}_{>0} willekeurig. Dan is er een \delta_0 \in \mathbb{R}_{>0} zodat als x \in \mathbb{R} en |x| < \delta_0, dan |f(x) - b| < \epsilon. Neem nu \delta \in \mathbb{R}_{>0} zodat \delta < \delta_0. Laat verder y \in \mathbb{R} voldoen aan |y| < \delta. Omdat y \in \mathbb{R} volgt dat er een x \in \mathbb{R} bestaat zodat y = x^3 (en dus is ook x^3 \in \mathbb{R}). Er geldt dan dat |x^3| < \delta < \delta_0. Oftewel, |x^3| < \delta_0. Dan volgt |f(x^3) - b| < \epsilon. Oftewel, |g(x) - b| < \epsilon. (Maar hier had dus g(y) moeten komen te staan ipv g(x)...).
Marcos
Student universiteit - vrijdag 7 februari 2020
Antwoord
Hallo Marcos,
Wat je hebt gedaan klopt inderdaad niet helemaal. Je bewijst met de limiet \lim_{y \rightarrow 0} g(y) = b dat \lim_{x^3 \rightarrow 0} f(x^3) = b in plaats van waar je naar toe wil \lim_{x \rightarrow 0} f(x^3) = b. Ik denk niet dat het gebruik van g handig is.
Je zou het - zonder g - zo kunnen aanpakken vanaf "Laat verder":
Laat verder x_0 \in \mathbb{R} voldoen aan |x_0| < \delta en |x_0| < 1. Dan geldt ook x_0^3 < x_0 <\delta (en nu zie je waarom <1 nodig was). Dus volgt |f(x_0^3) - b| < \epsilon.
Je ziet trouwens dat ik er voor kies om een gekozen waarde altijd een index te geven (in dit geval 0) om verwarring met de variabele te voorkomen.
Met vriendelijke groet,

|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 8 februari 2020
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2025 WisFaq - versie 3
|