|
|
\require{AMSmath}
Hoofdstelling van de integraalrekening
Beste Ik begrijp een deel van de hoofdstelling van de integraalrekening dat onze prof er heeft bijgevoegd niet goed. Het gaat om het aantonen dat F (de primitieve van f) continu is. We hebben dit genoteerd: - |F(y)-F(x)| = |integraal van x naar y van f(t)dt| $\le$ M (y-x) (=M integraal van x naar y van dx) (Hoe komen we hierop?) - Daarna passen we Weierstrass toe en zeggen dat M = sup f(t) $<$ oneindig (Ik snap het verband tussen Weierstrass en de andere stappen niet. Vooral hoe we ineens kunnen impliceren dat de limiet van F(y) = F(x)) - Dan impliceren we dat de limiet van y naar x van F(y) = F(x) dus dat F continu is. Ik zie dus duidelijk de samenhang er niet echt in.... Alvast heel erg bedankt!!!
Emily
Student universiteit België - vrijdag 29 december 2017
Antwoord
Is dit het geval waar de functie $f$ continu wordt verondersteld? Als je de zaken wat herschikt wordt het misschien wat duidelijker. 1. Het is handiger als je eerst afspreekt wat die $M$ is: het maximum van $|f(t)|$ op een gesloten interval waar $x$ in ligt. Dat maximum bestaat wegens de maximumstelling van Weierstrass. 2. Er geldt altijd $\bigl|\int_p^q f(t)\mathrm{d}t\bigr|\le \int_p^q|f(t)|\mathrm{d}t$ als $p $<$ q$ (die stelling is vast behandeld). 3. Wat ook behandeld zou moeten zijn is: als $A\le f(t)\le B$ op een interval $[p,q]$ dan geldt $A(q-p)\le\int_p^qf(t)\mathrm{d}t\le B(q-p)$. 4. Als je dit alles combineert krijgt je inderdaad dat $$ |F(x)-F(y)|\le M|x-y| $$ 5. Nu kun je via de definitie bewijzen dat $F$ continu is in $x$: bij $\varepsilon $>$ 0$ neem je $\delta=\varepsilon/(M+1)$ en dan loopt alles verder gladjes.
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 29 december 2017
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|