WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Minimumprobleem

Dit is een reactie op vraag 84228

Ik ben u heel, heel erg dankbaar voor het bewijs hoewel ik het zelf niet heb kunnen volgen wegens gebrek aan voldoende wiskundige kennis. Zoudt U me ook willen helpen met de volgende twee vergelijkingen?

x = (u¹/u²)·b+c

en

y = sqrt(u³/u⁴·b²+c··2)

met 0 $<$ b en 0 $<$ c en

u¹ = 1175489416775
u² = 462058639171
u³ = 1559539637070687639877140
u⁴ = 213498186032556375567241

Alvast heel erg bedankt.
Ad van
Docent - woensdag 5 april 2017

Antwoord

De link bij het vorige antwoord verwijst naar een artikel in Pythagoras en dat poogt de ongelijkheid van Cauchy en Schwarz toegankelijk te maken voor middelbare-scholieren.

Ik neem aan dat $u^2$ ($u^3$) hetzelfde is als $u[2]$ ($u[3]$) en dat het om vier getallen $u_1$, $u_2$, $u_3$ en $u_4$ gaat.
Het is wat overzichtelijker $x=\alpha b+c$ en $y=\sqrt{\beta b^2+c^2}$ te schrijven; dan kun je $x$ schrijven als inwendig product van $(\gamma b,c)$ en $(\delta,1)$. Dan zie je dat $\gamma\cdot\delta$ gelijk moet zijn aan $\alpha$. Als je dan de norm van de eerste vector op $\sqrt{\beta b^2+c^2}$ uit wil laten komen volgt $\gamma=\sqrt\beta$, en dus $\delta=\alpha/\sqrt\beta$.
Nu Cauchy-Schwarz toepassen:
$$
\alpha b+c\le\sqrt{\beta b^2+c^2}\cdot\sqrt{\frac{\alpha^2}\beta+1}
$$Andermaal kun je meteen zien wanneer gelijkheid geldt: als $\delta c=\gamma b$, en dat geeft, na omwerken, $\alpha c=\beta b$.
Nu kun je $\alpha=u_1/u_2$ invullen en $\beta=u_3/u_4$.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 5 april 2017