De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Machtreeks

Waarom is een machtreeks met positieve convergentiestraal differentieerbaar? Ik moet dit rechtstreeks aantonen mbv de definitie van afgeleide. Kunt u mij misschien helpen?

Annemi
Student universiteit - maandag 8 februari 2016

Antwoord

Het is niet zozeer de machtreeks die differentieerbaar is maar de somfunctie $s(x)$. Voor het gemak nemen we $0$ als centrum, dus $s(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ voor $x\in(-R,R)$, waar $R$ de convergentiestraal is.
Neem nu $x$ en $h$ zo dat $x$ en $x+h$ beide in $(-R,R)$ zitten en schrijf het differentiaalquotient uit:
$$
\frac{s(x+h)-s(x)}h=\frac1h\sum_{n=0}^\infty a_n\bigl((x+h)^n - x^n\bigr)
$$
Analyseer dat verschil goed; je kunt laten zien dat de limiet voor $h\to0$ bestaat en gelijk is aan
$$
\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}
$$

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 8 februari 2016



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3