De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Pythagoras en parallellogramwet

Hallo wisfaq,

1.
Zij v een vectorruimte met inproduct. Zij u,vV met
u^v.
Bewijs (gegeneraliseerde Pythagoras) dat:
||u+v||2 = ||u||2 + ||v||2

2.
Bewijs in situatie van 1 de parallellogramwet
||u+v||2 + ||u-v||2 = 2||u||2 + 2||v||2, voor alle u,vV (niet noodzakelijk u^v)

Ik vind dit allemaal wel heel logisch maar hoe kan ik dat nu bewijzen?

Liefs Amy

Amy
Student hbo - zondag 30 januari 2005

Antwoord

Beste Amy,

Beide eigenschappen zijn erg makkelijk te bewijzen als je dit even gebruikt als tussenredenering:

Het kwadraat van de norm van een vector wordt gedefinieerd als het inproduct met zichzelf:
||x+y||2 = x+y,x+y
Als je dit inproduct uitwerkt krijg je :
||x+y||2 = x+y,x+y = ||x||2 + 2x,y + ||y||2

Hiermee kunnen we jouw stelling nu handig bewijzen.

Voor Pythagoras is het nu feitelijk al bewezen, "2x,y" is immers 0 doordat x en y orthogonaal zijn, er blijft dus over:
||x+y||2 = ||x||2 + ||y||2

Voor de parallellogramregel doe je hetzelfde voor de norm van "x-y", je krijgt dan voor die laatste regel:
||x-y||2 = x-y,x-y = ||x||2 - 2x,y + ||y||2

Als je in die 2 uitdrukkingen alles naar n lid brengt behalve 2x,y (en -2x,y), dan krijg je deze 2:

2x,y = ||x+y||2 - ||x||2 - ||y||2
- 2x,y = ||x-y||2 - ||x||2 - ||y||2

Beide uitdrukkingen lid aan lid optellen geeft:
0 = ||x+y||2 +||x-y||2 - 2||x||2 - 2||y||2

Dus: ||x+y||2 +||x-y||2 = 2||x||2 + 2||y||2

Ziezo, hopelijk kom je er aan uit.

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 30 januari 2005



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3