WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Convergentie van een reeks

Hallo team wisfaq,

Ik wil graag de volgende theorie bewijzen:
9eerst wat gegevens)
Laat w1, w2 twee complexe getallen zijn niet gelijk aan 0, em laat t=w2/w1 met Imt$>$0. Laat w=mw1+nw2 met m,n=0,(+/-)1,(+/-)2,....De punten vormen een tralie in het complexe vlak. Beschouw de volgende reeks
SOM{|w|^-q}=SOM SOM {(|mw1+nw2|)^-q}, de eerst som gaat van m=-oneindig tot oneindig, de tweede som van n=-oneindig tot oneindig.

Theorie. De reeks SOM[|w|^-q}], som gaat over alle w, behalve w=0, convergeert voor q$>$2.
Bewijs.
Definieer de partiele som
S_k=SOM{|w|^-q}, de som gaat over |m|=$<$k, |n|=$<$k, k=1,2,3... en laat T_k=S_k-S_k-1. De reeks SOM[|w|^-q}] convergeert d.e.s.d.a. de reeks SOM{T_k}, van k=1 tot oneindig cnvergeert, want alle termen zijn positief.

Vraag1. Waarom geldt bovenstaand?Dus De reeks SOM[|w|^-q}] convergeert d.e.s.d.a. de reeks SOM{T_k}, van k=1 tot oneindig cnvergeert, want alle termen zijn positief.

Het aantal termen in T_k is 8k want
(2k+1)²-1-{(2k-2+1)²-1}=8k.

Vraag2. Waar komt(2k+1)²-1-{(2k-2+1)²-1} vandaan?

En elke term is van de vorm
|kw1+nw2|^-q, |n|=$<$k, of van de vorm |mw1+kw2|^-q, |m|$<$k

Vraag3. Waarom is een term van zo'n vorm?

De correspnderende punten liggen op de grens van de parallellogram met hoekpunten in kw1+kw2, -kw1+kw2, -kw1-kw2, kw1-kw2. Dus er bestaan twee getallen a$>$0 en b$>$0 zodat als w correspondeert met een term in T_k dan hebben we
a·k$<$|w|$<$b·k,
en dus
8·(b^-q)·k^(1-q) $<$ T_k $<$ 8·(a^-q)·k^(1-q),

Vraag4. Waarom zijn er zulke getallen a en b? En waarom geldt a·k$<$|w|$<$b·k,en 8·(b^-q)·k^(1-q) $<$ T_k $<$ 8·(a^-q)·k^(1-q)?

En nu volgt dat SOM{T_k}, van k=1 tot oneindig convergeert d.e.s.d.a. SOM{k^(1-q)}, van k=1 tot oneindig convergeert,
dus d.e.s.d.a. q$>$2.

Vraag6. Waarom volgt nu bovenstaande?

Veel groeten en dank,

Viky
viky
Student universiteit - donderdag 13 mei 2004

Antwoord

Dag Viky

Vraag 1:
$\sum$T_k=(S₁-S₀) + (S₂-S₁) + (S₃-S₂) + (S₄-S₃) + ...

Als de som in het linkerlid tot pakweg n gaat, zal het rechterlid juist S_n zijn: je kan immers alle andere S'en schrappen.

Dus $\sum$T_k (som 1 tot n) = S_n
Je weet waarschijnlijk dat je moet oppassen met convergentie als er negatieve termen in zitten, wel hier is dat niet het geval. Dus kan je uit de gelijkheid besluiten dat de som van T_k convergeert desda S_k convergeert.

Vraag 2: stel even dat je de tralie $<$1,i$>$ hebt, dus een vierkant. Dan worden de termen uit S₂ met x voorgesteld, die uit T₃ met o. De nul in het midden, aangeduid met 0, telt niet mee in de som.

o o o o o o o
o x x x x x o
o x x x x x o
o x x 0 x x o
o x x x x x o
o x x x x x o
o o o o o o o

Hoeveel o's heb je nu: je kan dit op verschillende manieren berekenen, bijvoorbeeld je hebt 4 zijden van telkens 7=2k+1 punten, dus 8k+4 in totaal, maar dan tel je de vier hoek-o's dubbel, dus kom je op 8k. De afleiding die jij geeft maakt gebruik van T_k=S_k-S_k-1 en het aantal traliepunten in S_k is een vierkant van 2k+1 op 2k+1, min het middenste punt (de 0).

Vraag 3: uit bovenstaand ox₀ schema zie je dat elk punt van T_k ofwel m=k of -k ofwel n=k of -k heeft.

Vraag 4b: als ak $<$ |$\omega$| $<$ bk
Doe dan alles tot de macht -q (let op: de ongelijkheden worden daardoor omgekeerd!)
Je weet dan dat elke |$\omega$|^-q (waarbij $\omega$ een traliepunt is op de rand van dat parallellogram) gelegen is tussen (bk)^-q en (ak)^-q.

Maar je hebt 8k zulke $\omega$'s in T_k, dus zal je T_k gelegen zijn tussen 8k(bk)^-q en 8k(ak)^-q

Vraag 4a: waarom ak $<$ |$\omega$| $<$ bk ? Wel, |$\omega$| is niks anders dan de afstand van de nul naar het traliepunt $\omega$, dat dan ook nog eens gelegen is op de rand van dat parallellogram. Dan zou je moeten zien dat je altijd zulke a en b kan vinden. Stel bijvoorbeeld eens $\omega$₁=r₁e^i$\theta$₁ en $\omega$₂=r₂e^i$\theta$₂. De grootste afstand zal altijd van één van de vier hoekpunten van het parallellogram komen. De kleinste afstand is misschien wat lastiger.

Vraag 6: je hebt nu alle T_k afgeschat, tussen c₁k^1-q en c₂k^1-q. Dus de som van alle T_k zal convergeren desda de som van k^1-q convergeert (k is 1 tot oneindig)

Wanneer heb je daar convergentie? Juist als q$>$2. Want q=2 levert de harmonische reeks, die divergeert. q$\ne$2 levert de hyperharmonische reeks. De divergentie/convergentie hiervan kan je nalezen op de laatste pagina van deze link

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 13 mei 2004

Re: Convergentie van een reeks