|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Manteloppervlakte
Laat zien als n minstens 4 is, dan kan elk element van Sn geschreven worden als product van twee permutaties van orde 2.
We hoeven alleen naar cyclische permutaties te kijken, want elke permutatie is een product van disjuncte cyclische permutaties.
Ik heb tot nu toe al een 'patroon' gevonden om dat te doen,
(abc)=(bc)(ac)
(abcd)=(bd)[(ab)(bc)]
... etc
(abcdefg)=[(bg)(cf)(de)][(ag)(bf)(ce)]
Ik weet alleen niet echt hoe ik dit nou moet bewijzen..
Ik zou graag hints/tips willen, zodat ik het echte antwoord zelf kan vinden.
Antwoord
Je patroon werkt niet helemaal: de permutatie $(a\,b)(b\,c)$ heeft orde drie.
Je moet ook nog een verwisseling als een product van twee premutaties van orde $2$ schijven, daar heb je nodig dat $n\ge4$: een beetje flauw maar $(a\,b)=(a\,b)[(a\,b)(c\,d)]$.
De algemene truc is deze: neem de getallen $1$, $2$, ..., $n$ en schrijf alle verwisselingen $(i\ i{+}1)$ op ($i=1,\ldots,n-1$). Neem nu voor $\sigma$ het product van alle verwisselingen $(i\ i{+}1)$ met $i$ oneven en voor $\tau$ het product van de verwisselingen met even $i$. Bij $n=4$ heb je dus $\sigma=(1\,2)(3\,4)$ en $\tau=(2\,3)$; en bij $n=5$ krijg je $\sigma=(1\,2)(3\,4)$ en $\tau=(2\,3)(4\,5)$.
Ga na dat $\sigma$ en $\tau$ orde $2$ hebben en dat $\sigma\tau$ (en ook $\tau\sigma$) een $n$-cykel oplevert. Door hernummeren kun je nu elk $n$-cykel maken.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
