|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Een formule omzetten van een optelling naar een produkt
Een kromme wordt gegeven door de vergelijking in poolcoördinaten:
r= $\sqrt{}$cos(2$\theta$)).
Ik heb deze vergelijking kunnen omvormen naar de cartesische vorm:
x2+y2=$\sqrt{}$(x2-y2).
Maar weet niet hoe je de punten met een horizontale raaklijn en de punten met een verticale raaklijn hiervan zoekt? Via grafische weg denk ik dat de kromme eruitziet als een oneindig teken door de oorsprong?
Alvast veel dank,
Antwoord
Het kan op twee manieren: impliciet differentiëren of de parametrisering gebruiken.
Om met de tweede te beginnen: we hebben
$x(\theta)=\sqrt{\cos2\theta}\cdot\cos\theta$ en
$y(\theta)=\sqrt{\cos2\theta}\cdot\sin\theta$.
Voor een horizontale raaklijn moet gelden $y'(\theta)=0$ en voor een verticale
hebben we $x'(\theta)=0$ nodig.
Met wat volhouden vind je
$$x'(\theta)=\frac{(\sin^2\theta-3\cos^2\theta)\sin\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}
$$en
$$y'(\theta)=\frac{(\cos^2\theta-3\sin^2\theta)\cos\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}
$$Als je $x'(\theta)=0$ oplost krijg je $\sin\theta=0$
of $\sin^2\theta=3\cos^2\theta$. De laatste leidt tot punten
met $x^2-y^2=x^2-3y^2$ en dat is negatief en valt dus af; blijft over
$\sin\theta=0$ en dus $y=0$. Stop dat in $x^2+y^2=\sqrt{x^2-y^2}$.
Uit $y'(\theta)=0$ haal je $\cos\theta=0$ (dus $x=0$) of
$\cos^2\theta=3\sin^2\theta$, dat geeft $\tan\theta=\pm\frac1{\sqrt3}$,
met bekende hoeken $\pm\frac\pi6$ en $\pm\frac{5\pi}6$.
Invullen geeft de gezochte punten.
Alternatief: dit geeft ook $x^2=3y^2$, stop dat weer in de vergelijking en los
op naar $y$ of $x$.
Het tweede doet alsof $y$ een functie van $x$ is (of andersom)
en differentieert dan.
Eerst even kwadrateren: $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$.
Differentieer naar $x$:
$$2(x^2+y^2)\cdot(2x+2y\cdot y')=2x-2y\cdot y'
$$omwerken geeft
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x(1-2(x^2+y^2))}{y(1+2(x^2+y^2))}
$$Evenzo
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{y(1+2(x^2+y^2))}{x(1-2(x^2+y^2))}
$$Door $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ te stellen vind je $x=0$
of $x^2+y^2=\frac12$ en beide kun je in de vergelijking stoppen met resultaten
$y^4=-y^2$, en $x^2-y^2=\frac14$.
En $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=0$ geeft alleen $y=0$.
Zie ook Lemniscaten in Pythagoras.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
