|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Aantal cijfers
Hallo!
Kan u me misschien helpen met het begrijpen van volgende oefening?
Gegeven de rij functies (fn = indicatorfunctie [0, 1/n)n behoort tot N zonder 0. Bewijs dat deze rij in kwadratisch gemiddelde convergeert naar de nulfunctie, maar niet puntsgewijs.
Ik begrijp niet zo goed hoe deze fn nu werkt. Is die dan 1 in [0,1], [0; 0,5], ... en 0 als het erbuiten ligt?
De oefening is opgelost door een f(x) te definiëren die 1 is als x=0 en 0 elders. Hoe men aan deze f(x) komt begrijp ik niet... Ik dacht dat dat de nulfunctie moest zijn.
Verder past men daarop de formule voor kwadratische convergentie toe waarbij je de integraal krijgt van 0 tot 1/n van |1-0|2, wat ik begrijp (denk ik), want fn is 1 in het interval 0 tot 1/n en die 0 komt van de nulfunctie. Het is voornamelijk de f(x) waarmee ik in de knoop zit.
Stel dat we nu nemen dat 0 niet in het interval ligt, dan convergeert de rij wel puntsgewijs naar de nulfunctie toch?
Vriendelijke groeten!
Antwoord
Vrijwel alles wat je vraagt moet een antwoord hebben in je boek of dictaat.
Zoek de definitie van `indicatorfunctie' op en je ziet: $f_n$ neemt de waarde $1$ aan op $[0,1/n)$ en $0$ daarbuiten.
Kwadratisch convergeren naar de nulfunctie betekent dat $\|f_n-0\|_2$ naar nul convergeert als $n\to\infty$, de definitie van die norm geeft dat je, inderdaad, naar de wortel uit
$$
\int_0^{\frac1n}1 \mathrm{d}x
$$moet kijken. Die is gelijk aan $1/n$, dus $\|f_n-0\|_2=1/\sqrt n$.
Die functie $f$ is niet echt nodig.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
